知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a＞0，b＞0
（1）若a+b＞2，求证：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一个小于2；
（2）若a-b=2，求证：a³+b＞8；
（3）若a²-b²=2，求证：a（3a-2b）≥4
2
+6．

难度：中等

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2．（1）解关于x不等式（x-a）（x-1）＜0．
（2）证明：（x+y）（
1
x
+
1
y
）≥4（其中x＞0，y＞0）．

难度：中等

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3．用分析法、综合法证明：若a＞0，b＞0，a≠b，则
a+b
2
＞
ab
．

难度：中等

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4．（Ⅰ）已知a，b∈R⁺，求证：（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³；
（Ⅱ）已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．求证：(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

难度：较难

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5．设函数f（x）=|x+1|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤2
3
的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：
3
|a+b|≤|ab+3|．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x²-1）（m∈R）
（Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
4
4×12-1
+
4×2
4×22-1
+…+
4×n
4×n2-1
＞ln（2n+1）（n∈N^*）

难度：较难

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7．（1）若不等式|2x-1|+|x+2|≥m²+
1
2
m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设a，b，c大于0，且1≤
1
a
+
1
2b
+
1
3c
≤
2
5
（|2x-1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．

难度：中等

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8．（1）证明：
5
-
10
＞
3
-
8

（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

难度：中等

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9．设x，y，z均为正实数，且3^x=4^y=6^z
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
．

难度：较难

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10．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：（a+b）^-1+（b+c）^-1=3（a+b+c）^-1．

难度：中等

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