知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c为不等正实数，且abc=1，求证：
a
+
b
+
c
＜
1
a
+
1
b
+
1
c
．

难度：中等

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2．已知a，b∈R⁺．
（1）求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（2）利用（1）的结论，求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．

难度：中等

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3．已知等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，证明：
1
b1
+
1
b2
+…
1
bn
＜
1
2
．

难度：中等

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4．已知x，y，z∈R⁺，求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

难度：较难

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5．用适合的方法证明下列命题：
（1）
a+1
-
a
＜
a-1
-
a-2
（a≥2）
（2）若a，b为两个不相等的正数，且a+b=1，则
1
a
+
1
b
＞4．

难度：中等

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6．已数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-
1
2
a_n=
1
2n
，b_n=
1
tan
an
n2
•S_n是数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证；对任意n∈N^*．S_n＜（n-1）•2ⁿ+1．

难度：较难

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7．已知a，b，c＞0，求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
．

难度：较难

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8．已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤
(a2+b2)(c2+d2)
．

难度：中等

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9．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

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10．（1）已知a＞b＞0，求证：
a
-
b
＜
a-b
；
（2）已知函数f（x）=e^x+
x-2
x+1
，用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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