知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a＞0，b＞0
（1）若a+b＞2，求证：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一个小于2；
（2）若a-b=2，求证：a³+b＞8；
（3）若a²-b²=2，求证：a（3a-2b）≥4
2
+6．

难度：中等

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2．已知a≥0，b≥0，求证：a⁶+b⁶≥ab（a⁴+b⁴）．

难度：中等

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3．（Ⅰ）设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．　证明：|
1
3
a+
1
6
b|＜
1
4
；
（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，关于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．设a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+
c2
2
≤
1
2
；
（Ⅱ）求证：
a2+c2
b
+
b2+a2
c
+
c2+b2
a
≥2．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

难度：较难

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6．证明：不等式
m+1
-
m
＜
m-1
-
m-2
（m≥2）

难度：中等

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7．设函数f（x）=|2x-a|．
（1）当a=3时，解不等式，f（x）＜|x-2|．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，1]，
1
m
+
1
2n
=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N^*）．

难度：较难

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9．（1）设z=a+bi（a，b∈R），求证：
z-1
z+1
为实数的充要条件是b=0．
（2）证明：当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
．

难度：中等

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10．函数f(x)=
|x+1|+|x+2|-a
．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设a，b∈（-1，1），证明
|a+b|
2
＜|1+
ab
4
|．

难度：较难

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