知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

难度：较难

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2．（1）用分析法证明：
3
-
2
＞
6
-
5

（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一个小于2．

难度：中等

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3．已知a，b为实数，证明：（a⁴+b⁴）（a²+b²）≥（a³+b³）²．

难度：较难

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4．已知x，y∈R，且|x+y|≤
1
6
，|x-y|≤
1
4
，求证：|x+5y|≤1．

难度：较难

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5．（理）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x²+y²与x²+xy的大小；
（2）设a，b，c为正数，且a²+b²+c²=1，求证：
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
-
2(a3+b3+c3)
abc
≥3．

难度：中等

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6．（选修4-5：不等式选讲）
若x∈(-
1
2
，
2
3
)，证明
1+2x
+
3+x
+
2-3x
＜3
2
．

难度：较难

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7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，s=
1
2
（a+b+c）
（1）证明
1
A
+
1
B
+
1
C
≥
9
π
；
（2）若s²=2ab，试证s＜2a．

难度：中等

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8．设a、b、c∈R₊，满足a+b+c=abc，证明：
1
2
1+a2
+
1
3
1+b2
+
1
4
1+c2
≤
29
48
．

难度：中等

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9．比较法证明不等式：设c＞1，m=
c+1
-
c
，n=
c
-
c-1
，求证：m＜n．

难度：中等

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10．（1）a，b∈R证明|a+b|≥|a|-|b|，
（2）已知 |x-a|＜
c
2
，|y-b|＜
c
2
，求证|（x+y）-（a+b）|＜c．

难度：较难

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