知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=
e2-1
x
，x≠0．其中e=2.71828…
（1）设h（x）=f（x）+
1
x
，求函数h（x）在[
1
2
，2]上的值域；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．

难度：较难

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2．设函数f（x）=|x+1|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤2
3
的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：
3
|a+b|≤|ab+3|．

难度：较难

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3．已知等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，证明：
1
b1
+
1
b2
+…
1
bn
＜
1
2
．

难度：中等

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4．用适当方法证明下列不等式：
（Ⅰ）用综合法证明：若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（
1
a
+
1
b
）≥4；
（Ⅱ）用分析法证明：
6
+
7
＞2
2
+
5
．

难度：中等

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5．（1）设实数t＞0，求证：（1+
2
t
）ln（1+t）＞2
（2）从编号1到100的100张卡片中，每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽20次，设抽得的20个号码各不相同的概率为p，求证：ρ＜
1
e2
．

难度：较难

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6．（1）解不等式：|x-1|+|2x+5|＜8；
（2）已知a，b，c＞0，且a+b+c=1，证明：
a2
b+3c
+
b2
c+3a
+
c2
a+3b
≥
1
4
．

难度：中等

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7．有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M^-1对应的变换作用下所得△A₁B₁C₁的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：
x=cosθ
y=
2
2
sinθ
（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．
（3）（选修4-5 不等式证明选讲）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

难度：较难

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8．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．选修4-2　矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵M=
cosα -sinα
sinα cosα
对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵．
C．选修4-4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，
曲线C₁：ρcos(θ+
π
4
)=2
2
与曲线C₂：
x=4t2
y=4t
（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．选修4-5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

难度：中等

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9．（选做题）已知a，b，c为正实数，且a，b，c∈(1，
7
)．
（Ⅰ）证明：
1
a2-1
+
1
7-a2
≥
2
3
；
（Ⅱ）求
1
(a2-1)(7-b2)
+
1
(b2-1)(7-c2)
+
1
(c2-1)(7-a2)
的最小值．

难度：较难

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10．设f（x）=e^x-a（x+1）．（e是自然对数的底数）
（Ⅰ）若f（x）≥0对一切x≥-1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：（
2015
2016
）¹⁰⁰⁸＜
1
e
．

难度：中等

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