知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设α、β∈（0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ），试用柯西不等式证明 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%5Calpha%20%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bsin%5E%7B2%7D%5Calpha%20%5Ccdot%20cos%5E%7B2%7D%5Cbeta%20%5Ccdot%20sin%5E%7B2%7D%5Cbeta%20%7D$ ≥9．

难度：较易

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2．（1）设a，b∈R₊，a+b=1，求证 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ ≥4．
（2）已知x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

难度：较易

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3．设a₁，a₂，…，a_n为实数，证明：≤．

难度：中等

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4．若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，证明：≤（）•（）．当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号成立．

难度：中等

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5．
【题文】已知，比较与的大小。

难度：中等

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6．设x＞0，求证：1＋x＋x²＋…＋xⁿ≥(2n＋1)xⁿ

难度：中等

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7．设a，b，c是某三角形的三边长，证明a²（b+c﹣a）+b²（c+a﹣b）+c²（a+b﹣c）≤3abc．

难度：中等

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8．已知n∈N^* ， n＞1，n个实数a₁ ， a₂ ， …，a_n满足a₁+a₂+…+a_n=0，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1．求证：|a₁+2a₂+3a₃+…+n|a_n|≤ $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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9．设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a³+b³+c³≥3abc．

难度：中等

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10．设正整数构成的数列{a_n}使得a_10k_﹣9+a_10k_﹣8+…+a_10k≤19对一切k∈N^*恒成立．记该数列若干连续项的和 $\text{[math]}$ 为S（i，j），其中i，j∈N^* ，且i＜j．求证：所有S（i，j）构成的集合等于N^* ．

难度：中等

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