知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p²+q²+r²≥3．

难度：中等

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2．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ a²+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B9%7D$ b²+c²的最小值．

难度：中等

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3．已知不等式a+b+ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ c≤|x²-1|对于满足条件a²+b²+c²=1的任意实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

难度：中等

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4．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0）且x+y+z的最大值是1，求a的值．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m-2|x-4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m的最大值为a．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x²+3y²+6z²的最小值．

难度：较易

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6．已知a，b，c，d∈R，且ad-bc=1，求证：a²+b²+c²+d²+ab+cd≠1．

难度：较易

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7．已知函数f（x）=ln（1+x）（x＞0）．
（Ⅰ）证明： $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B1%2Bx%7D%EF%BC%9Cf%28x%29$ ；
（Ⅱ）比较2015²⁰¹³与2014²⁰¹⁴的大小；
（Ⅲ）给定正整数n（n＞2015），n个正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=1，
证明： $%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B1%2Bx_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B1%2Bx_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7Bx_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%7D%7B1%2Bx_%7Bn%7D%7D%29%5E%7B2015%7D%EF%BC%9E%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2016%7D%29%5E%7Bn%7D$ ．

难度：中等

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8．已知a，b，c∈R，且a+b+c=3，a²+b²+c²的最小值为M．
（Ⅰ）求M的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式|x+4|-|x-1|≥M．

难度：中等

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9．若不等式 $%7Ca-1%7C%5Cgeq%20%20%5Csqrt%20%7B3x%2B1%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3y%2B1%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3z%2B1%7D$ 对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．三题中任选两题作答
(1)(2011年江苏高考)已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%201%20%5C%5C%202%20%26%201%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，向量 $%5Cbeta%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%5C%5C%202%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，求向量α，使得A²α=β
(2)(2011年山西六校模考)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，-5)，点M的极坐标为 $%284%2C%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%29$ ，若直线l过点P，且倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D$ ，圆C以M为圆心、4为半径．
①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； ②试判定直线l和圆C的位置关系．
(3)若正数a，b，c满足a+b+c=1，求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3a%2B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3b%2B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3c%2B2%7D$ 的最小值．

难度：较易

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