在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{n}}=\cos \dfrac{\pi }{3\times {{2}^{n-2}}}(n\in {{N}^{*}}).\)

\((1)\)试将\({{a}_{n+1}}\)表示为\({{a}_{n}}\)的函数关系式；

\((2)\)若数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{n}}=1-\dfrac{2}{n\cdot n!}(n\in {{N}^{*}})\)，猜想\({{a}_{n}}\)与\({{b}_{n}}\)的大小关系，并证明你的结论．

\((1)\) 已知\(x\)，\(y\)的取值如表所示：

从散点图可以看出，\(y\)与\(x\)线性相关，若回归方程为\( \overset{\}{y} =1.46x+a\)，则实数\(a=\)______．

\((2)\)如果\(f\left(n\right)=1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n+1}…+ \dfrac{1}{{2}^{n}} (n∈N^{*})\)，那么\(f(k+1)-f(k)\)共有______项．

\((4)\)通过观察所给两等式的规律，\(①\sin ^{2}30^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}+\sin ^{2}150^{\circ}= \dfrac{3}{2} \)；\(②\sin ^{2}5^{\circ}+\sin ^{2}65^{\circ}+\sin ^{2}125^{\circ}= \dfrac{3}{2} \)，请你写出一个\((\)包含上面两命题\()\)一般性的命题：______ ．

若不等式\(\dfrac{1}{n{+}1}+\ \dfrac{1}{n{+}2} +\ \dfrac{1}{n{+}3} +…+\dfrac{1}{3n{+}1} > \dfrac{a}{24}\) 对一切正整数\(n\)都成立，求正整数\(a\)的最大值，并证明你的结论．

证明贝努利不等式：

设\(x∈R\)，且\(x > -1\)，\(x\neq 0\)，\(n∈N\)，\(n > 1\)，则\((1+x)^{n} > 1+nx\)．

\((1)\)用数学归纳法证明\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots \dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < n.(n\in {{N}^{*}},n > 1)\)时，第一步应验证的不等式是_______．

\((2)\)已知\(i\)是虚数单位，计算\(\dfrac{(3-4i){{(1+i)}^{3}}}{4+3i}\)的结果为                      ．

\((3)\)若函数\(f\left( x \right)\)在定义域\(D\)内某区间\(I\)上是增函数，且\(\dfrac{f(x)}{x}\)在\(I\)上是减函数，则称\(y=f(x)\)在\(I\)上是“弱增函数”\(.\)已知函数\(h(x)={{x}^{2}}-(b-1)x+b\)在\((0,1]\)上是“弱增函数”，则实数\(b\)的值为_____________

\((4)\)已知函数\(f(x)\)的定义域为\([-1,5]\)，部分对应值如表，\(f(x)\)的导函数\(y=f{{'}}(x)\)的图象如图所示，

下列关于\(f(x)\)的命题：

\(①\)函数\(y=f(x)\)是周期函数；\(②\)函数\(y=f(x)\)在\([0,2]\)上减函数；

\(③\)如果当\(x∈[-1,t]\)时，\(f(x)\)的最大值是\(2\)，那么\(t\)的最大值是\(4\)；

\(④\)当\(1 < a < 2\)时，函数\(y=f(x)-a\)有\(4\)个零点；

\(⑤\)函数\(y=f(x)-a\)的零点个数可能为\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)．

其中正确命题的序号是__________________\((\)写出所有正确命题的序号\()\)．

用数学归纳法证明：

\({{1}^{2}}-{{2}^{2}}+{{3}^{2}}-{{4}^{2}}+\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\cdot {{n}^{2}}={{(-1)}^{n-1}}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}(n\in {{N}_{+}})\)．