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共50条信息

1．记等式1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1=

1

6

n（n+1）（n+2）左边的式子为f（n），用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时，即当n从k变为k+1时，等式左边的改变量f（k+1）-f（k）=（　　）

A．k+1

B．1•（k+1）+（k+1）•1

C．1+2+3+…+k

D．1+2+3+…+k+（k+1）

难度：中等

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2．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
1
3
，记为f(1)=
1
3
；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的
2(n-1)-1
2(n-1)+3
倍．
（Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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3．当n∈N^*时，S_n=1+2+3+…+（n+3），T_n=
(n+3)(n+4)
2
．
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的数量关系，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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4．用数学归纳法证明不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n（n∈N，且n＞1）时，不等式的左边从n=k到n=k+1，需添加的式子是（　　）

A．

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+1-1

B．

1

2k+1-1

C．

1

2k

+

1

2k+1-1

D．

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

2k+1-1

难度：中等

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5．当n≥2，n∈N^*时，设f（n）=（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）•…•（1-
1
n2
）．
（Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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6．如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）ⁿ＞1+nx．

难度：中等

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7．（2016春•海淀区期中）已知函数f（x）=
1
x
（x＞0），对于正数x₁，x₂，…，x_n（n∈N₊），记S_n=x₁+x₂+…+x_n，如图，由点（0，0），（x_i，0），（x_i，f（x_i）），（0，f（x_i））构成的矩形的周长为C_i（i=1，2，…，n），都满足C_i=4S_i（i=1，2，…，n）．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）猜想x_n的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．

难度：中等

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8．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n²+n（n∈N^*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）

A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

难度：中等

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9．用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²，从n=k到n=k+1，等号左边需增加的代数式为．

难度：中等

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10．设Sn=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)

（1）写出S₁，S₂，S₃，S₄的值，
（2）归纳并猜想出S_n．

难度：中等

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