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          共50条信息

            • 1．
              用数学归纳法证明“\(1+a+a^{2}+…+a^{2n+1}= \dfrac {1-a^{2n+2}}{1-a}\)，\((a\neq 1)\)”，在验证\(n=1\)时，左端计算所得项为\((\)　　\()\)
              A．\(1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}\)
              B．\(1+a\)
              C．\(1+a+a^{2}\)
              D．\(1+a+a^{2}+a^{3}\)
              难度：较易
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            • 2．
              在含有\(n\)个元素的集合\(A_{n}=\{1,2,…,n\}\)中，若这\(n\)个元素的一个排列\((a_{1},a_{2},…,a_{n})\)满足\(a_{i}\neq i(i=1,2,…,n)\)，则称这个排列为集合\(A_{n}\)的一个错位排列\((\)例如：对于集合\(A_{3}=\{1,2,3\}\)，排列\((2,3,1)\)是\(A_{3}\)的一个错位排列；排列\((1,3,2)\)不是\(A_{3}\)的一个错位排列\().\)记集合\(A_{n}\)的所有错位排列的个数为\(D_{n}\)．
              \((1)\)直接写出\(D_{1}\)，\(D_{2}\)，\(D_{3}\)，\(D_{4}\)的值；
              \((2)\)当\(n\geqslant 3\)时，试用\(D_{n-2}\)，\(D_{n-1}\)表示\(D_{n}\)，并说明理由；
              \((3)\)试用数学归纳法证明：\(D_{2n}(n∈N^{*})\)为奇数．
              难度：较易
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            • 3．
              \((1)\)用数学归纳法证明：当\(n∈N^{*}\)时，\(\cos x+\cos 2x+\cos 3x+…+\cos nx= \dfrac {\sin (n+ \dfrac {1}{2})x}{2\sin \dfrac {1}{2}x}- \dfrac {1}{2}(x∈R\)，且\(x\neq 2kπ\)，\(k∈Z)\)；
              \((2)\)求\(\sin \dfrac {π}{6}+2\sin \dfrac {2π}{6}+3\sin \dfrac {3π}{6}+4\sin \dfrac {4π}{6}+…+2018\sin \dfrac {2018π}{6}\)的值．
              难度：较易
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            • 4．
              \((1)\)已知\(a_{i} > 0,b_{i} > 0(i∈N^{*})\)，比较\( \dfrac { b_{ 1 }^{ 2 }}{a_{1}}+ \dfrac { b_{ 2 }^{ 2 }}{a_{2}}\)与\( \dfrac {(b_{1}+b_{2})^{2}}{a_{1}+a_{2}}\)的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
              \((2)\)求证：\( \dfrac {1}{ C_{ n }^{ 0 }}+ \dfrac {3}{ C_{ n }^{ 1 }}+ \dfrac {5}{ C_{ n }^{ 2 }}+…+ \dfrac {2n+1}{ C_{ n }^{ n }}\geqslant \dfrac {(n+1)^{3}}{2^{n}}(n∈N^{*})\)．
              难度：较易
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            • 5．
              用数学归纳法证明为：\(1+c+c^{2}+c^{3}+…+c^{n+1}= \dfrac {1-c^{n+2}}{1-c}(c\neq 1)\)，当\(n=1\)时，左边为 ______ ．
              难度：易
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            • 6．
              已知\(n\)为正偶数，用数学归纳法证明\(1- \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}- \dfrac {1}{4}+…+ \dfrac {1}{n+1}=2( \dfrac {1}{n+2}+ \dfrac {1}{n+4}+…+ \dfrac {1}{2n})\)时，若已假设\(n=k(k\geqslant 2)\)为偶数\()\)时命题为真，则还需要用归纳假设再证\(n=(\)　　\()\)时等式成立．
              A．\(n=k+1\)
              B．\(n=k+2\)
              C．\(n=2k+2\)
              D．\(n=2(k+2)\)
              难度：易
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            • 7．
              已知\(S_{n}= \dfrac {1}{n+1}+ \dfrac {1}{n+2}+…+ \dfrac {1}{2n}\)，\(n∈N*\)，利用数学归纳法证明不等式\(S_{n} > \dfrac {13}{24}\)的过程中，从\(n=k\)到\(n=k+l(k∈N*)\)时，不等式的左边\(S_{k+1}=S_{k}+\) ______ ．
              难度：较难
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            • 8．
              三个数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，\(\{c_{n}\}\)，满足\(a_{1}=- \dfrac {11}{10}\)，\(b_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {|a_{n}-1|+ \sqrt { a_{ n }^{ 2 }-2a_{n}+5}}{2}\)，\(b_{n+1}=2b_{n}+1\)，\(c_{n}=a\;_{b_{n}}\)，\(n∈N*\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：当\(n\geqslant 2\)时，\(a_{n} > 1\)；
              \((\)Ⅱ\()\)是否存在集合\([a,b]\)，使得\(c_{n}∈[a,b]\)对任意\(n∈N*\)成立，若存在，求出\(b-a\)的最小值；若不存在，请说明理由；
              \((\)Ⅲ\()\)求证：\( \dfrac {2^{2}}{c_{2}}+ \dfrac {2^{3}}{c_{3}}+…+ \dfrac {2^{n}}{c_{n}}\leqslant 2^{n+1}+c_{n+1}-6(n∈N*,n\geqslant 2)\)．
              难度：中等
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            • 9．
              用数学归纳法证明\(1+2+3+…+n^{2}= \dfrac {n^{4}+n^{2}}{2}\)，则当\(n=k+1\)时左端应在\(n=k\)的基础上加上\((\)　　\()\)
              A．\(k^{2}+1\)
              B．\((k+1)^{2}\)
              C．\( \dfrac {(k+1)^{4}+(k+1)^{2}}{2}\)
              D．\((k^{2}+1)+(k^{2}+2)+(k^{2}+3)+…+(k+1)^{2}\)
              难度：较易
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            • 10．
              用数学归纳法证明不等式“\( \dfrac {1}{n+1}+ \dfrac {1}{n+2}+…+ \dfrac {1}{2n} > \dfrac {13}{24}(n > 2)\)”时的过程中，由\(n=k\)到\(n=k+1\)，\((k > 2)\)时，不等式的左边\((\)　　\()\)
              A．增加了一项\( \dfrac {1}{2(k+1)}\)
              B．增加了两项\( \dfrac {1}{2k+1}+ \dfrac {1}{2(k+1)}\)
              C．增加了一项\( \dfrac {1}{2(k+1)}\)，又减少了一项\( \dfrac {1}{k+1}\)
              D．增加了两项\( \dfrac {1}{2k+1}+ \dfrac {1}{2(k+1)}\)，又减少了一项\( \dfrac {1}{k+1}\)
              难度：易
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