知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•河南模拟）如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（Ⅰ）求证：点F是BD中点；
（Ⅱ）求证：CG是圆O的切线．

难度：中等

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2．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别F₁，F₂，点P(-1，
3
2
)是椭圆C的一点，满足
PF 1
•
PF2
=
9
4
．
（I）求椭圆C的方程．
（II）已知O为坐标原点，设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
(0＜λ＜4，λ≠2)．求证：直线AB的斜率为定值．

难度：中等

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3．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离比是
2
2
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点Q（
2
3
，0）的直线l与曲线C交于点M，N，求证：点A（
2
，0）在以MN为直经的圆上．

难度：中等

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4．（2016•闵行区二模）已知椭圆Г：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点；
（1）求椭圆Г的方程；
（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：
1
OA2
+
1
OB2
为定值；
（3）设点C在椭圆Г上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数
3
，求动点D的轨迹方程．

难度：中等

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5．已知圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．点P是圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于M、N点．如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy．
（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．

难度：较难

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6．已知直线l₁：ax+y+a-1=0不经过第一象限，且l₁⊥l₂
（1）求证：直线l₁恒过定点；
（2）求直线l₂倾斜角的取值范围．

难度：较易

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7．已知空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，E是BC的中点．求证：BC⊥AD．

难度：较易

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8．（2011秋•武穴市校级期末）选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．
（1）（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，OE与BC和AB的延长线分别交于点E和F，若AB=2，BC=3，BF=1，则BE= ．
（2）（坐标系与参数方程选做题）若直线l1：
x=1-2t
y=2+kt.
(t为参数)，
与直线l2：
x=s
y=1-2s.
（s为参数）垂直，则k= ．

难度：较难

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9． a=1是直线y=ax+1与y=（a-2）x+3垂直的条件．

难度：较易

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