知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： $%7BK%7D%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7Bn%7B%28ad%E2%88%92bc%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

难度：较易

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2．

从$2$位女生，$4$位男生中选$3$人参加科技比赛，且至少有$1$位女生入选，则不同的选法共有_________种$.($用数字填写答案$)$

难度：易

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3．
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式$.$为比较两种生产方式的效率，选取$40$名工人，将他们随机分成两组，每组$20$人$.$第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式$.$根据工人完成生产任务的工作时间$($单位：$min)$绘制了如下茎叶图：

$(1)$根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
$(2)$求$40$名工人完成生产任务所需时间的中位数$m$，并将完成生产任务所需时间超过$m$和不超过$m$的工人数填入下面的列联表：

超过$m$ 不超过$m$

第一种生产方式

第二种生产方式

$(3)$根据$(2)$中的列联表，能否有$99\%$的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，

$P(K^{2}\geqslant k)$ $0.050$ $0.010$ $0.001$

$k$ $3.841$ $6.635$ $10.828$

难度：较易

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4．
设$n∈N^{*}$，对$1$，$2$，$……$，$n$的一个排列$i_{1}i_{2}……i_{n}$，如果当$s < t$时，有$i_{s} > i_{t}$，则称$(i_{s},i_{t})$是排列$i_{1}i_{2}……i_{n}$的一个逆序，排列$i_{1}i_{2}……i_{n}$的所有逆序的总个数称为其逆序数$.$例如：对$1$，$2$，$3$的一个排列$231$，只有两个逆序$(2,1)$，$(3,1)$，则排列$231$的逆序数为$2.$记$f_{n}(k)$为$1$，$2$，$…$，$n$的所有排列中逆序数为$k$的全部排列的个数．
$(1)$求$f_{3}(2)$，$f_{4}(2)$的值；
$(2)$求$f_{n}(2)(n\geqslant 5)$的表达式$($用$n$表示$)$．

难度：较易

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5．
如图是某地区$2000$年至$2016$年环境基础设施投资额$y($单位：亿元$)$的折线图．

为了预测该地区$2018$年的环境基础设施投资额，建立了$y$与时间变量$t$的两个线性回归模型$.$根据$2000$年至$2016$年的数据$($时间变量$t$的值依次为$1$，$2$，$…$，$17)$建立模型$①$：$ \hat {y}=-30.4+13.5t$；根据$2010$年至$2016$年的数据$($时间变量$t$的值依次为$1$，$2$，$…$，$7)$建立模型$②$：$ \hat {y}=99+17.5t$．
$(1)$分别利用这两个模型，求该地区$2018$年的环境基础设施投资额的预测值；
$(2)$你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

难度：中等

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6．

下图是我国$2008$年至$2014$年生活垃圾无害化处理量$($单位：亿吨$)$的折线图

$(I)$由折线图看出，可用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系，请用相关系数加以说明

$(II)$建立$y$关于$t$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量。

难度：较难

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7．

下图是我国$2008$年至$2014$年生活垃圾无害化处理量$($单位：亿吨$)$的折线图．

注：年份代码$1–7$分别对应年份$2008–2014$．

$($Ⅰ$)$由折线图看出，可用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系，请用相关系数加以说明；

$($Ⅱ$)$建立$y$关于$t$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{y}_{i}}}=9.32$，$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}}=40.17$，$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}=0.55$，$ \sqrt{7}≈2.646$．

参考公式：$r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \bar{t})(y- \bar{y})}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}}({t}_{1}- \overset{¯}{t}{)}^{2} \sum\nolimits_{i=1}^{n}(y1- \overset{¯}{y}{)}^{2}} $

回归方程$ \overset{¯}{y}= \overset{¯}{a}+ \overset{¯}{b}t $中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$ \overset{¯}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \overset{¯}{t})({y}_{1}- \overset{¯}{y})}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \overset{¯}{t}{)}^{2}} $

难度：难

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8．

某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中$A$点表示十月的平均最高气温约为 $15^{0}C$，$B$点表示四月的平均最低气温约为 $5^{0}C$。下面叙述不正确的是$($ $)$

A．各月的平均最低气温都在 $0^{0}C$以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均气温高于 $20^{0}C$的月份有$5$个

难度：易

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\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.050\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

	超过\(m\)	不超过\(m\)
第一种生产方式
第二种生产方式

	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828