知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=
6
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥M-PAB的体积．

难度：中等

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2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，∠B₁A₁A=∠C₁A₁A=60°，AA₁=AC=4，AB=1．
（Ⅰ）求证：A₁B₁⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

难度：中等

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3．（2016•怀化二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，F是AB中点，AC=BC=1，AA₁=1．
（1）求证：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

难度：中等

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4．（2016•广元二模）如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，AB=BC，E，F分别是PA，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：EF⊥AC．

难度：中等

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5．四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），AD∥BC，PD=
3
a，∠DAB=θ
（Ⅰ）若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；
（Ⅱ）若θ=90°，AB=
3
a，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA∥平面DMN．

难度：中等

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6．（2015秋•和平区期末）如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁是菱形，D为A₁C₁的中点，B₁C⊥A₁B．
（Ⅰ）求证：平面AB₁C垂直平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB₁=B₁C=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若E是AB中点，F是SC的中点，求证：EF∥面SAD；
（Ⅱ）求四棱锥S-ABCD的侧面积．

难度：中等

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8．（2015秋•海淀区期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．
①在平面PAB内不存在直线与DC平行；
②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；
③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；
上述命题中正确命题的序号为．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC，求证：
（Ⅰ）PC∥平面BED；
（Ⅱ）BC⊥PC．

难度：中等

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10．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，BB₁=4，B₁H⊥平面A₁BC₁，垂足为H．
（Ⅰ）求证：H为△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）求证：S2△A1B1C1=S△A1HC1•S△A1BC1（其中S△A1B1C1、S△A1HC1、S△A1BC1分别表示△A₁B₁C₁，△A₁HC₁，△A₁BC₁的面积）

难度：较难

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