知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）AA₁=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，求异面直线EF与BC所成的角的大小．

难度：易

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3．如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是正方形，侧棱$PA⊥$底面$ABCD$，点$E$是$PD$的中点，$AB=2$，$PA=3$．

$(1)$求证：$PB/\!/$平面$EAC$；
$(2)$求证：$CD⊥AE$；

难度：易

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4．

在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M$、$N$、$P$分别是$AD_{1}$、$BD$和$B_{1}C$的中点．

求证：$($Ⅰ$)MN$平面$CC_{1}D_{1}D$；
$($Ⅱ$)$平面$MNP$平面$CC_{1}D_{1}$D.

难度：易

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，M、N分别为PC、PB的中点．PA=AB．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥DM．

难度：易

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6．
如图，$ABCD$是正方形，$O$是该正方形的中心，$P$是平面$ABCD$外一点，$PO$$\bot $底面$ABCD$，$E$是$PC$的中点$.$

求证：$(1)$$PA$$/\!/$平面$BDE$；

$(2)$$BD$$⊥$平面$PAC$．

难度：易

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7．
如图，正四棱柱$ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$中，$A{{A}_{1}}=2AB=4$，点$E$在$C{{C}_{1}}$上且${{C}_{1}}E=3EC$．

$($Ⅰ$)$证明：${{A}_{1}}C\bot $平面$BED$；

$($Ⅱ$)$求二面角${{A}_{1}}-DE-B$的余弦值的大小．

难度：易

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8．
如图，在五面体$ABCDEF$中，四边形$ABCD$是边长为$4$的正方形，$EF{/\!/}AD$，平面$ADEF\bot $平面$ABCD$，且$BC=2EF$，$AE=AF$，点$G$是$EF$的中点．

$($Ⅰ$)$证明：$AG\bot $平面$ABCD$；

$($Ⅱ$)$若直线$BF$与平面$ACE$所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{6}}{9}$，求$AG$的长；

$($Ⅲ$)$判断线段$AC$上是否存在一点$M$，使$MG/\!/$平面$ABF$？若存在，求出$\dfrac{AM}{MC}$的值；若不存在，说明理由．

难度：易

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9．
设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

    ①若，，则    ②若，，，则

    ③若，，则   ④若，，则

其中正确命题的序号是 (      )

A ②和③                                          B ①和②

  C ③和④                                       D ①和④

难度：易

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