知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．将1，2，3，4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是．

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2．（2017•山东模拟）德国数学家莱布尼兹发现了右面的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形：根据前6行的规律，写出第7行的第3个数是．

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3．已知x＞0，观察下列式子：x+
1
x
≥2，x+
4
x2
≥3，x+
27
x3
≥4，x+
256
x4
≥5，…类比有x+
a
x2016
≥2017，a= ．

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4． “开心辞典”中有这样个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：-
1
2
，
1
2
，-
3
8
，
1
4
，-
5
32
，它的第8个数可以是．

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5．阅读以下求1+2+3+…+n的值的过程：
因为（n+1）²-n²=2n+1
n²-（n-1）²=2（n-1）+1
…
2²-1²=2×1+1
以上各式相加得（n+1）²-1=2×（1+2+3+…+n）+n
所以1+2+3+…+n=
n2+2n-n
2
=
n(n+1)
2
．
类比上述过程，求1²+2²+3²+…+n²的值．

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6． “设RT△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥A-BCD中三边AB、AC、AD两两互相垂直，则 ”．

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7．已知
2+
2
3
=2
2
3
，
3+
3
8
=3
3
8
，
4+
4
15
=4
4
15
，
5+
5
24
=5
5
24
…，类比推理得
m+
n
t
=m
n
t
（m＞0，n＞0，t＞0），则t+
16
n
+2005的最小值等于．

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8．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=
1
2
，2S_n+1=S_n+
1
2n
（n∈N^*）．根据上述条件可归纳出这个数列的通项公式为a_n= ．

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9．同一事物若从不同角度看可能个会有不同的认识，在研究“超越方程”3x=2cos²
x
2
的解的个数时，有如下解题思路：方程3x=2cos²
x
2
可化为3x-2cos²
x
2
=0，构造函数f（x）=3x-2cos²
x
2
，故f（x）=3x-1-cosx；因为f′（x）=3+sinx＞0，可知f（x）在R上单调递增，又f（0）•f（
π
2
）＜0，所以函数f（x）=3x-2cos²
x
2
有唯一零点，即“超越方程”3x-2cos²
x
2
=0有唯一解：由此可见利用函数观点解决问题的优越性，类比上述解题思路，不等式x²+2x-3＞sin（x²+x）+sin（x-3）的解集为．

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10．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos²α+cos²β=1，则在立体几何中，给出类比猜想．

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