知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
为了解$A$市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

$($Ⅰ$)$根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩$u_{0}$；$($精确到个位$)$
$($Ⅱ$)$研究发现，本次检测的理科数学成绩$X$近似服从正态分布$X～N(μ,σ^{2})(u=u_{0},σ$约为$19.3).①$按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占$46\%$，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？$($精确到个位$)②$已知$A$市理科考生约有$1000$名，某理科学生此次检测数学成绩为$107$分，则该学生全市排名大约是多少名？
$($说明：$P(x > x_{1})=1-ϕ( \dfrac {x_{1}-u}{\sigma })$表示$x > x_{1}$的概率，$ϕ( \dfrac {x_{1}-u}{\sigma })$用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即$X～N(0,1)$，从而利用标准正态分布表$ϕ(x_{0})$，求$x > x_{1}$时的概率$P(x > x_{1})$，这里$x_{0}= \dfrac {x_{1}-u}{\sigma }.$相应于$x_{0}$的值$ϕ(x_{0})$是指总体取值小于$x_{0}$的概率，即$ϕ(x_{0})=P(x < x_{0}).$参考数据：$ϕ(0.7045)=0.54$，$ϕ(0.6772)=0.46$，$ϕ(0.21)=0.5832)$．

难度：较易

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2．
习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标$.$在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词$.$某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动$.$界定日行步数不足$4$千步的人为“不健康生活方式者”，不少于$10$千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”$.$某日，学校工会随机抽取了该校$400$名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：
$(1)$求$400$名教职工日行步数$($千步$)$的样本平均数$($结果四舍五入保留整数$)$；
$(2)$由直方图可以认为该校教职工的日行步数$($千步$)$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$，其中$μ$为样本平均数，标准差$σ$的近似值为$2.5$，求该校被抽取的$400$名教职工中日行步数$($千步$)ξ∈(2$，$4.5)$的人数$($结果四舍五入保留整数$)$；
$(3)$用样本估计总体，将频率视为概率$.$若工会从该校教职工中随机抽取$2$人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人$0$元；“一般生活方式者”奖励金额每人$100$元；“超健康生活方式者”奖励金额每人$200$元$.$求工会慰问奖励金额$X$的分布列和数学期望．
附：若随机变量服从正态分布$N(μ,σ^{2})$，$P(μ-σ < ξ\leqslant μ+σ)=0.6826$则，$P(μ-2σ < ξ\leqslant μ+2σ)=0.9544$

难度：较易

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3．
$2015$年$3$月$24$日，习近平总书记主持召开中央政治局会议，通过了$《$关于加快推进生态文明建设的意见$》$，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想$.$为响应国家号召，某市$2016$年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取$100$棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：
$(1)$求树高在$225-235cm$之间树苗的棵树，并求这$100$棵树苗树高的平均值和方差$($方差四舍五入保留整数$)$；
$(2)$若将树高以等级呈现，规定：树高在$185-205cm$为合格，在$205-235$为良好，在$235-265cm$为优秀$.$视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中随机抽取$3$棵，求树高等级为优秀的棵数$ξ$的分布列和数学期望；
$(3)$经验表明树苗树高$X-N(μ,σ^{2})$，用样本的平均值作为$μ$的估计值，用样本的方差作为$σ^{2}$的估计值，试求该批树苗小于等于$255.4cm$的概率．
$($提供数据：$ \sqrt {271}≈16.45, \sqrt {305}≈17.45$，$ \sqrt {340}≈18.45)$
附：若随机变量$z$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$，则$P(μ-σ < Z\leqslant μ+σ)=0.6826$，$P(μ-2σ < Z\leqslant μ+2σ)=0.9544$，$P(μ-3σ < Z\leqslant μ+3σ)=0.9974$．

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4．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ-N（μ，σ²），则p（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

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5．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ²）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B16%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B16%7Dx_%7Bi%7D$ =9.97，s= $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B16%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B16%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B16%7D%28%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B16%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-16%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%29%7D$ ≈0.212，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ 作为μ的估计值 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7B%5Cmu%20%7D$ ，用样本标准差s作为σ的估计值 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7B%5Csigma%20%7D$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7B%5Cmu%20%7D$ -3 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7B%5Csigma%20%7D%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7B%5Cmu%20%7D$ +3 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7B%5Csigma%20%7D$ ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592， $%20%5Csqrt%20%7B0.008%7D$ ≈0.09．

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6．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ-σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．
（2）将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品
（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；
（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ．

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7．某校高二年级在一次数学测验后，随机抽取了部分学生的数学成绩组成一个样本，得到如下频率分布直方图：
（1）求这部分学生成绩的样本平均数 $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ 和样本方差s²（同一组数据用该组的中点值作为代表）
（2）由频率分布直方图可以认为，该校高二学生在这次测验中的数学成绩X服从正态分布 $N%28%20%5Coverline%20%7Bx%7D%EF%BC%8Cs%5E%7B2%7D%29$ ．
①利用正态分布，求P（X≥129）；
②若该校高二共有1000名学生，试利用①的结果估计这次测验中，数学成绩在129分以上（含129分）的学生人数．（结果用整数表示）
附：① $%20%5Csqrt%20%7B210%7D$ ≈14.5②若X～N（μ，σ²），则P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

难度：较易

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8．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．
（Ⅱ）将直径小于等于μ-2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？

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9．某市在2015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）试估计该校数学的平均成绩；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．
附：若 X～N（μ，σ²），则P（u-3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

难度：较易

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10．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．
（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；
（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ²），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9544³=0.87，0.9974⁴=0.99，0.0456²=0.002．

难度：较易

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9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95