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          共50条信息

            • 1．
              斜率为\(1\)的直线与椭圆\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)相交与\(A\)，\(B\)两点，则\(|AB|\)的最大值为 ______ ．
              难度：较易
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            • 2．
              已知椭圆\(E\)的中心在原点，焦点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)在\(x\)轴上，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，在椭圆\(E\)上有一动点\(A\)与\(F_{1}\)、\(F_{2}\)的距离之和为\(4\)，
              \((\)Ⅰ\()\) 求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\) 过\(A\)、\(F_{1}\)作一个平行四边形，使顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)都在椭圆\(E\)上，如图所示\(.\)判断四边形\(ABCD\)能否为菱形，并说明理由．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((2,0)\)，且椭圆\(C\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若动点\(P\)在直线\(x=-1\)上，过\(P\)作直线交椭圆\(C\)于\(M\)，\(N\)两点，且\(P\)为线段\(MN\)中点，再过\(P\)：作直线\(l⊥MN.\)求直线\(l\)是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，焦距为\(2\)，且长轴长是短轴长的\( \sqrt {2}\)倍\(.\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)设\(P(2,0)\)，过椭圆\(C\)左焦点\(F\)作斜率\(k\)直线\(l\)交\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，若\(S_{\triangle ABP}= \dfrac { \sqrt {10}}{2}\)，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 5．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴为\(4\)，短轴为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)：\(y=x+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若点\(M(-1,y_{0})\)是线段\(AB\)的中点，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 6．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一个顶点坐标为\(B(0,1)\)，若该椭圆的离心等于\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)点\(Q\)是椭圆\(C\)上位于\(x\)轴下方一点，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆的左、右焦点，直线\(QF_{1}\)的倾斜角为\( \dfrac {π}{6}\)，求\(\triangle QF_{1}F_{2}\)的面积．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，右焦点为\(F\)，过点\(B(0,-b)\)和点\(F\)的直线与原点的距离为\(1\)．
              \((1)\)求此椭圆的方程；
              \((2)\)过该椭圆的左顶点\(A\)作直线\(l\)，分别交椭圆和圆\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)于相异两点\(P\)、\(Q.\)若\(|PQ|=λ|AP|\)，则实数 \(λ\) 的取值范围．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上有一点 \(P\)满足到椭圆的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=10\)，离心率\(e= \dfrac {4}{5}\)．
              \((1)\)求椭圆的标准方程．
              \((2)\)若\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，求\(\triangle F_{1}PF_{2}\)的面积．
              难度：较易
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以原点\(O\)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {3}{4}.\)求证：\(\triangle AOB\)的面积为定值．
              难度：较易
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，四个顶点围成的四边形的内切圆半径为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的左、右焦点，过\(F_{2}\)作直线交椭圆于\(M\)、\(N\)两点，求三角形\(MNF_{1}\)面积的最大值及取得最大值时直线\(MN\)的方程．
              难度：较易
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