知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，抛物线上的点\(P\)到\(y\)轴的距离等于\(|PF|-1\)．
\((1)\)求\(p\)的值；
\((2)\)是否存在正数\(m\)，对于过点\(M(m,0)\)且与抛物线\(C\)有两个交点\(A\)、\(B\)的任一直线，都有\( \overrightarrow{FA}⋅ \overrightarrow{FB} < 0\)？若存在，求出\(m\)的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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2．
已知抛物线\(C\)：\(x^{2}=2py(p > 0)\)过点\((2,1)\)，直线\(l\)过点\(P(0,-1)\)与抛物线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点\(.\)点\(A\)关于\(y\)轴的对称点为\(A′\)，连接\(A′B\)．
\((1)\)求抛物线线\(C\)的标准方程；
\((2)\)问直线\(A′B\)是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

难度：较易

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3．
已知抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)，焦点对准线的距离为\(4\)，过点\(P(1,-1)\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点．
\((1)\)求抛物线的方程；
\((2)\)如果点\(P\)恰是线段\(AB\)的中点，求直线\(AB\)的方程．

难度：较易

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4．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，以抛物线上一动点\(M\)为圆心的圆经过点\(F.\)若圆\(M\)的面积最小值为\(π\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(p\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)当点\(M\)的横坐标为\(1\)且位于第一象限时，过\(M\)作抛物线的两条弦\(MA\)，\(MB\)，且满足\(∠AMF=∠BMF.\)若直线\(AB\)恰好与圆\(M\)相切，求直线\(AB\)的方程．

难度：较易

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5．
已知抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)和圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}(r > 0)\)的公共弦过抛物线的焦点\(F\)，且弦长为\(4\)．
\((1)\)求抛物线和圆的方程：
\((2)\)过点\(F\)的直线与抛物线相交于\(A\)、\(B\)两点，抛物线在点\(A\)处的切线与\(x\)轴的交点为\(M\)，求\(\triangle ABM\)面积的最小值．

难度：较易

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6．
如图，已知抛物线\(C\)的顶点在原点，焦点\(F\)在\(x\)轴上，抛物线上的点\(A\)到\(F\)的距离为\(2\)，且\(A\)的横坐标为\(1.\)过\(A\)点作抛物线\(C\)的两条动弦\(AD\)、\(AE\)，且\(AD\)、\(AE\)的斜率满足\(k_{AD}⋅k_{AE}=2\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)直线\(DE\)是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．

难度：较易

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7．
已知抛物线\(C\)的焦点在\(x\)轴上，顶点在原点且过点\(p(2,1)\)，过点\((2,0)\)的直线\(l\)交抛物线\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，\(M\)是线段\(AB\)的中点，过点\(M\)作\(y\)轴的垂线交\(C\)于点\(N\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)是否存在直线\(l\)，使得以\(AB\)为直径的圆\(M\)经过点\(N\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．

难度：较易

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8．
如图，椭圆\(C_{1}： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(x\)轴被曲线\(C_{2}：y=x^{2}-b\)截得的线段长等于\(C_{1}\)的短轴长\(.C_{2}\)与\(y\)轴的交点为\(M\)，过坐标原点\(O\)的直线\(l\)与\(C_{2}\)相交于点\(A\)、\(B\)，直线\(MA\)，\(MB\)分别与\(C_{1}\)相交于点\(D\)、\(E\)．
\((1)\)求\(C_{1}\)、\(C_{2}\)的方程；
\((2)\)求证：\(MA⊥MB\)．
\((3)\)记\(\triangle MAB\)，\(\triangle MDE\)的面积分别为\(S_{1}\)、\(S_{2}\)，若\( \dfrac {S_{1}}{S_{2}}=λ\)，求\(λ\)的取值范围．

难度：较易

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