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          共50条信息

            • 1． 已知函数y=f（x），x∈R，给出下列结论：
              ①若对于任意x1，x2且x1≠x2都有
              f(x2)-f(x1)
              x2-x1
              ＜0，则f（x）为R上的减函数；
              ②若f（x）为R上的偶函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（-2）=0则f（x）＞0的解集为（-2，2）；
              ③若f（x）为R上的奇函数，则y=f（x）-f（|x|）也是R上的奇函数；
              ④t为常数，若对任意的x都有f（x-t）=f（x+t），则f（x）的图象关于x=t对称．
              其中所有正确的结论序号为    ．
              难度：中等
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            • 2． 设函数y=f（x）是定义在上（0，+∞）的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(
              1
              3
              )=
              1
              2
              ．
              （1）求f（1）；
              （2）若存在实数m，使得f（m）=1，求m的值；
              （3）若f（x-2）＞1+f（x），求x的取值范围．
              难度：中等
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            • 3． 已知定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
              （Ⅰ）求f（0）的值，判断f（x）的奇偶性并说明理由；
              （Ⅱ）求证：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
              （Ⅲ）若不等式f（k•2x）+f（2x-4x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
              难度：中等
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            • 4． 对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
              （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
              第一组：f1（x）=lg
              x
              10
              ，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2-x+1；
              第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
              （2）设f1（x）=log2x；f2(x)=log
              1
              2
              x，a=2，b=1生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
              （3）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=
              1
              x
              (x＞0)              ，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常熟m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 5． 设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，∀x1，x2∈[0，
              1
              2
              ]，恒有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=a＞0．
              （1）求f（
              1
              2
              ）和f（
              1
              4
              ）；
              （2）求证：f（x）为周期函数；
              （3）设an=f（2n+
              1
              2n
              ），求an．
              难度：中等
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            • 6． 己知f（x）与g（x）的定义域相同，且恒有f（-x）+f（x）=0，g（-x）g（x）=1，又g（x）=1的解集为{0}
              （1）判断函数F（x）=
              2f(x)
              g(x)-1
              +f（x）的奇偶性；
              （2）若xF（x）+3在[-3，0）∪（0，3]的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值．
              难度：中等
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            • 7． 已知定义在实数集R上的函数f（x）又f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＜0，f（2）=-1．
              （1）求证：f（x）是在R上单调递减的奇函数；
              （2）解不等式f（x2）-f（3x）≥1．
              难度：中等
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            • 8． 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x1、x2∈（0，+∞）都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
              （1）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
              （2）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．
              难度：中等
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            • 9． 已知定义在R上的增函数f（x）满足f（x）＞0，且对于任意的m，n∈R都有f（m）•f（n）=f（m+n）．
              （1）求f（0）的值；
              （2）求证
              f(m)
              f(n)
              =f（m-n）（m，n∈R）；
              （3）若f（4）=4，且存在x∈[1，t]（t＞1）使得f（x2）≤
              1
              8
              f（kx），求实数k的取值范围．
              难度：中等
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