知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的首项a₁=4，前n项和为S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f′（1），求数列{b_n}的通项公式，并研究其单调性．

难度：中等

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2． f（x）=
x
2
-
1
4
sinx-
3
4
cosx，其中f′（x）为f（x）的导函数，且f′（B）=
3
4
，B∈（0，
π
2
）．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求sin（B+10°）[1-
3
tan（B-10°）]的值．

难度：中等

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3．设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²．
（1）求g（x）的周期和对称中心；
（2）求g（x）在[-
π
4
，
π
4
]上值域．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
（1）当x∈[0，
π
2
]时求函数g(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域．
（2）在直角坐标系中画出y=g(x)-1在[-
π
2
，
π
，2
]上的图象．

难度：中等

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5．设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²
（Ⅰ）求g（x）的周期和最大值；
（Ⅱ）求g（x）的单调递增区间．

难度：中等

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6．求下列各函数的导数．
（1）y=x²+
1
x
-
x
；
（2）y=xcos（2x）．

难度：中等

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7．设函数f（x）=2x³+ax²+bx+m的导函数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-
1
2
对称，且f′（1）=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
（1）求函数F（x）=f（x）•f′（x）+f²（x）的最小正周期；
（2）若f（x）=2f′（x），求
1+sin2x
cos2x+sinx•cosx
的值．

难度：中等

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