知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某工厂在2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是1万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该工厂使用该设备x（x∈N^*）年的总费用为y（万元）．
（1）将y表示成x的函数（总费用=购入费用+运转费用+维护费用）；
（2）求该设备的最佳使用年限（即使用该设备年平均费用最低的年限）．

难度：中等

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2．南山中学近几年规模不断壮大，学生住宿异常紧张，学校拟用1000万元购一块空地，计划在该空地上建造一栋至少8层，每层2000平方米的学生电梯公寓．经测算，如果将公寓建为x（x≥8）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．
（1）写出拟修公寓每平米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
（2）该公寓应建造多少层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（结果精确到1元）
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=
购地总费用
建筑总面积
）

难度：中等

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3．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-3，且x=2时y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．

难度：中等

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4．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？

难度：中等

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5．某地区预计从2015年初开始的第x月，商品A的价格f（x）=
1
2
（x²-12x+69）（x∈N，x≤12，价格单位：元），且第x月该商品的销售量g（x）=x+12（单位：万件）．
（1）商品A在2015年的最低价格是多少？
（2）2015年的哪一个月的销售收入最少，最少是多少？

难度：中等

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6．函数f（x）=
x-a
lnx
的图象总在函数F（x）=
x
的图象上方，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=αx-lnx（α∈R）．
（I）α=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的图象恒在x轴上方．求α的取值范围；
（Ⅲ）证明：2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

难度：中等

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8．若存在正实数x，使得不等式
lnx
x+1
≥ln
kx
x+1
成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=ln（1+x）[2+ln（1+x）]-2x．
（1）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单减；
（2）若不等式（n+
k
2
）ln（1+
1
n
）≤1对∀∈N^*都成立，求k+2的最大值．

难度：中等

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10．现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=
51
50
x-ax²-ln
x
10
，且X∈（1，t]．且当X=10时，y=9.2
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式
（Ⅱ）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

难度：中等

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