知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设{a_n}的公比q的等比数列．
（1）推导{a_n}的前n项和公式；
（2）设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足a₁=
1
2
，a_n=
an-1
2-an-1
（n≥2）．
（1）求证：{
1
a n
-1}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=
2n-1
an
，求{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．若数列{a_n}中，a₁=
1
3
，a_n+1=
n+1
3n
a_n
（Ⅰ）证明：{
an
n
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜
3
4
．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足a1=
7
6
，an+1=
1
2
an+
1
3
，
（1）当an≠
2
3
时，求证{an-
2
3
}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=
2
(lgan)(lgan+1)
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有a_n是S_n与n的等差中项．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=
1(n=0)
f[g(n-1)](n≥1)
．
（1）若a_n=g（n）-g（n-1）（n∈N^*），求证：{a_n}为等比数列；
（2）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求S_n（用n，b表示）．

难度：中等

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8．设数列{a_n}的前n项和为S_n．且a₁+2a₂3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有S_n=
an-1
λ
（λ≠0.1）．
（Ⅰ）求证：{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若λ=
1
2
，且b_n=
1
log4an•log4an+1
，{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

难度：中等

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10．已知数列{α_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=
2
3
a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数．
（1）对任意实数λ，证明数列{α_n}不是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，求λ的取值范围；
（3）若a_n＜3n对一切n∈N^*成立，L求λ的取值范围．

难度：中等

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