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          共50条信息

            • 1．
              在正项数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(1\leqslant a_{1}\leqslant 11\)，\(a_{n+1}^{2}=133-12a_{n}\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(1\leqslant a_{n}\leqslant 11\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=n(a_{2n-1}+a_{2n})\)，\(S_{n}\)表示数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和，求证：\(S_{n}\geqslant 6n(n+1)\)；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(a_{1}=8\)，设\(c_{n}=a_{2n-1}-a_{2n}\)，\(T_{n}\)表示数列\(\{c_{n}\}\)前\(n\)项和．
              \((i)\)比较\(a_{n}\)与\(7\)的大小；
              \((ii)\)求证：\(T_{n} < 13\)．
              难度：中等
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            • 2．
              已知\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(a_{1}=3\)，且\(2S_{n}=a_{n+1}-3(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)对于正整数\(i\)，\(j\)，\(k(i < j < k)\)，已知\(λa_{j}\)，\(6a_{i}\)，\(μa_{k}\)成等差数列，求正整数\(λ\)，\(μ\)的值；
              \((3)\)设数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和是\(T_{n}\)，且满足：对任意的正整数\(n\)，都有等式\(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+a_{3}b_{n-2}+…+a_{n}b_{1}=3^{n+1}-3n-3\)成立\(.\)求满足等式\( \dfrac {T_{n}}{a_{n}}= \dfrac {1}{3}\)的所有正整数\(n\)．
              难度：中等
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}+(-1)^{n}a_{n}= \dfrac {n+5}{2}(n∈N^{*})\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)．
              \((1)\)求\(a_{1}+a_{3}\)的值；
              \((2)\)若\(a_{1}+a_{5}=2a_{3}\)．
              \(①\)求证：数列\(\{a_{2n}\}\)为等差数列；
              \(②\)求满足\(S_{2p}=4S_{2m}(p,m∈N^{*})\)的所有数对\((p,m)\)．
              难度：中等
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            • 4．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{3}=7\)，\(S_{9}=27\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}=|a_{n}|\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：中等
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            • 5．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{3}=7\)，\(a_{5}+a_{7}=26\)，\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{n}\)及\(S_{n}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}^{2}-1}(n∈N^{*})\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：中等
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            • 6．
              等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(a_{1}=10\)，\(a_{2}\)为整数，且\(S_{n}\leqslant S_{4}\)．
              \((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：中等
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            • 7．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，且\(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=0(n∈N^{*})\)，记\(T_{n}= \dfrac {1}{S_{1}}+ \dfrac {1}{S_{2}}+…+ \dfrac {1}{S_{n}}(n∈N^{*})\)，则\(T_{2018}=(\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {4034}{2018}\)
              B．\( \dfrac {2017}{2018}\)
              C．\( \dfrac {4036}{2019}\)
              D．\( \dfrac {2018}{2019}\)
              难度：中等
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            • 8．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(0 < a_{1} < 1\)，\(a_{n+1}=a_{n}-\ln (1+a_{n})\)，\(n∈N*\)．
              \((1)\)证明：\(0 < a_{n} < 1\)；
              \((2)\)证明：\(2a_{a+1} < a_{ n }^{ 2 }\)；
              \((3)\)若\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，记数列\(\{a_{n}\}\)的前项和为\(S_{n}\)，证明：\(S_{n} < \dfrac {3}{4}\)．
              难度：中等
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=A\sin (ωx+φ)+b(A > 0,ω > 0,0 < φ < π,b\)为常数\()\)的一段图象如图所示．
              \((1)\)求函数\(f(x)\)的解析式；
              \((2)\)函数\(f(x)\)在\(y\)轴右侧的极小值点的横坐标组成数列\(\{a_{n}\}\)，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项为\(a_{1}\)，试求数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：中等
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            • 10．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(1\)，公差为\(d\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且对任意的\(n∈N^{*}\)，\(6S_{n}=9b_{n}-a_{n}-2\)恒成立．
              \((1)\)如果数列\(\{S_{n}\}\)是等差数列，证明数列\(\{b_{n}\}\)也是等差数列；
              \((2)\)如果数列\(\{b_{n}+ \dfrac {1}{2}\}\)为等比数列，求\(d\)的值；
              \((3)\)如果\(d=3\)，数列\(\{c_{n}\}\)的首项为\(1\)，\(c_{n}=b_{n}-b_{n-1}(n\geqslant 2)\)，证明数列\(\{a_{n}\}\)中存在无穷多项可表示为数列\(\{c_{n}\}\)中的两项之和．
              难度：中等
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