知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），
4-
a
2
n
+a

2
n+1
=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，写出a_n（不用证明）；
（2）①当x∈（0，
π
2
）时，证明sinx＜x；
②若θ=
π
4
，证明a₁+a₂+…+a_n＜π．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：数列{
an
2n
}是等差数列；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=
n
(n+1)•22n-1
•an，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的前项和为S_n，若
Sn
S2n
为常数，则称数列{a_n}为“精致数列”．已知等差数列{b_n}的首项为1，公差不为0，若数列{b_n}为“精致数列”，则数列{b_n}的通项公式为．

难度：中等

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4．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=log₂a_n．
（I）求b_n，S_n；
（Ⅱ）设cn=bn•(
2Sn
n
+1)，求数列{an+
1
cn
}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n=a_n-1+
1
n(n-1)
（n≥2），求数列的通项式．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}满足a₁=
1
2
，2a_n+1=2a_n+1（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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8．数列{a_n}满足a₁=9，3a_n+1+a_n=4，求a_n．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N^*，则这个数列的前n项和S_n= ．

难度：中等

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10．数列{a_n}中，a_n+1=
2n+1•an
2n+1+an
，a₁=2，求a_n．

难度：中等

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