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          共50条信息

            • 1．
              设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{2014} > 0\)，\(S_{2015} < 0\)，对任意正整数\(n\)，都有\(|a_{n}|\geqslant |a_{k}|\)，则\(k\)的值为\((\)　　\()\)
              A．\(1006\)
              B．\(1007\)
              C．\(1008\)
              D．\(1009\)
              难度：中等
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中\(a_{1}=1\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若对任意的\(n∈N*\)，均有\(S_{n}=a_{n+k}-k(k\)是常数，且\(k∈N*)\)成立，则称数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”．
              \((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(1)\)数列”，求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(2)\)数列”，且\(a_{2}\)为整数，试问：是否存在数列\(\{a_{n}\}\)，使得\(|a \;_{ n }^{ 2 }-a_{n-1}a_{n+1}|\leqslant 40\)对一切\(n\geqslant 2\)，\(n∈N*\)恒成立？如果存在，求出这样数列\(\{a_{n}\}\)的\(a_{2}\)的所有可能值，如果不存在，请说明理由；
              \((3)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”，且\(a_{1}=a_{2}=…=a_{k}=1\)，证明：\(a_{n+2k}\geqslant (1+ \dfrac {1}{2^{k-1}})^{n-k}\)．
              难度：中等
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            • 3． 已知正项等比数列{an}满足a5+a4-a3-a2=8，则a6+a7的最小值为（　　）
              A．4
              B．16
              C．24
              D．32
              难度：中等
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            • 4． （2016•上海模拟）先阅读参考材料，再解决此问题：
              参考材料：求抛物线弧y=x2（0≤x≤2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积
              解：把区间[0，2]进行n等分，得n-1个分点A（
              2i
              n
              ，0）（i=1，2，3，…，n-1），过分点Ai，作x轴的垂线，交抛物线于Bi，并如图构造n-1个矩形，先求出n-1个矩形的面积和Sn-1，再求
              lim
              n→∞
              Sn-1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为
              2
              n
              ，第i个矩形的高为（
              2i
              n
              ）2，所以第i个矩形的面积为
              2
              n
              •（
              2i
              n
              ）2；
              Sn-1=
              2
              n
              [
              4•12
              n2
              +
              4•22
              n2
              +
              4•32
              n2
              +…+
              4•(n-1)2
              n2
              ]=
              8
              n3
              [12+22+32+…+（n-1）2]=
              8
              n3
              •
              n(n-1)(2n-1)
              6

              所以封闭图形的面积为
              lim
              n→∞
              8
              n3
              •
              n(n-1)(2n-1)
              6
              =
              8
              3

              阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，不等式
              		1-
              12
              n2
              +
              		1-
              22
              n2
              +
              		1-
              32
              n2
              +…+
              		1-
              (n-1)2
              n2
              ＜an恒成立，则实数a的取值范围为    ．
              难度：中等
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            • 5． 已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{xn}由f（xn）=n（n=0，1，2…）定义．
              （1）若b=3，求x1，x2；
              （2）求xn的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；
              （3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．
              难度：中等
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            • 6． 定义
              .
              abc
              是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
              .
              abc
              的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
              .
              a1b1c1
              ，对于n＞1且n∈N，
              .
              anbncn
              =f(
              .
              an-1bn-1cn-1
              )              ，将
              .
              anbncn
              的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为dn
              （Ⅰ）当
              .
              abc
              =636时，求
              .
              a1b1c1
              ，
              .
              a2b2c2
              及d2的值；
              （Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，dn=5；
              （Ⅲ）求证：对任意三位数
              .
              abc
              ，n≥6时，
              .
              anbncn
              =495．
              难度：中等
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            • 7． 已知数列{an}的首项a1=1，且点（an，an+1）在函数f（x）=
              x
              4x+1
              的图象上，bn=
              1
              an
              ．（n∈N*）
              （Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （Ⅱ）设cn=bn-2n，求数列{cn}的前n项和Sn．
              难度：中等
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            • 8． 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=axg（x），
              f(1)
              g(1)
              +
              f(-1)
              g(-1)
              =
              5
              2
              ，在有穷数列{
              f(n)
              g(n)
              }（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于
              15
              16
              的概率是（　　）
              A．
              1
              5
              B．
              2
              5
              C．
              4
              5
              D．
              3
              5
              难度：中等
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            • 9． 已知f(x)=
              1
              4x+2
              (x∈R)              ，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是
              1
              2
              ．
              （1）求证点P的纵坐标是定值； 
              （2）若数列{an}的通项公式是an=f(
              n
              m
              )              （m∈N*），n=1，2…m），求数列{an}的前m项和Sm； 
              （3）在（2）的条件下，若m∈N*时，不等式
              am
              Sm
              ＜
              am+1
              Sm+1
              恒成立，求实数a的取值范围．
              难度：中等
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            • 10． 已知函数f（x）=ax2+bx+c满足：f（1）=3，且f（x）在R上为奇函数．
              （1）求函数f（x）的解析式；
              （2）设Sn=f(
              1
              n
              )+f(
              2
              n
              )+f(
              3
              n
              )+…+f(
              n
              n
              )              ，若不等式
              mn
              Sn
              ＜
              mn+1
              Sn+1
              对n∈N+恒成立，求实数m的取值范围；
              （3）若数列{an}，{bn}满足：a1=1，an+1=
              f(an)
              2f(an)+3
              ；b1=1，bn+1-bn=
              1
              an
              ，记g(n)=
              1
              a
              n              ，(n为奇数)
              bn，(n为偶数)
              ，问是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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