知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{x_n}由f（x_n）=n（n=0，1，2…）定义．
（1）若b=3，求x₁，x₂；
（2）求x_n的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；
（3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．

难度：中等

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2． A、B是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上的任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：M点的纵坐标为定值；
（Ⅱ）若S_n=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），n∈N₊且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知数列{a_n}的通项公式为an=
2
3
(n=1)
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
(n≥2，n∈N+)
．T_n为其前n项的和，若T_n＜λ（S_n+1+1），对一切正整数都成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2．数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜
m
2016
对所有的（n∈N^*）都成立的最小正整数m．

难度：中等

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4．已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是
1
2
．
（1）求证点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{a_n}的通项公式是an=f(
n
m
)（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=ax²+bx+c满足：f（1）=3，且f（x）在R上为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n
n
)，若不等式
mn
Sn
＜
mn+1
Sn+1
对n∈N⁺恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=1，an+1=
f(an)
2f(an)+3
；b₁=1，bn+1-bn=
1
an
，记g(n)=
1
a
n，(n为奇数)
bn，(n为偶数)
，问是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（0，1）和B（3，27）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在数列{a_n}中，已知a₁=f（2），a_n+1=2a_n+f（n）（其中n∈N^*），求{a_n}的通项公式．

难度：中等

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