知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．两个正数a，b的等差中项是 $\text{[math]}$ ，一个等比中项是 $\text{[math]}$ ，且a＞b，则抛物线y²= $\text{[math]}$ 的焦点坐标是（）

A．（ $\text{[math]}$ ）

B． $\text{[math]}$

C． $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$

难度：中等

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2．如图，已知抛物线y²=x及两点A₁（0，y₁）和A₂（0，y₂），其中y₁＞y₂＞0．过A₁ ， A₂分别作y轴的垂线，交抛物线于B₁ ， B₂两点，直线B₁B₂与y轴交于点A₃（0，y₃），此时就称A₁ ， A₂确定了A₃ ．依此类推，可由A₂ ， A₃确定A₄ ， …．记A_n（0，y_n），n=1，2，3，…．
给出下列三个结论：
①数列{y_n}是递减数列；
②对∀n∈N^* ， y_n＞0；
③若y₁=4，y₂=3，则 $\text{[math]}$ ．
其中，所有正确结论的序号是

难度：中等

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3．数列a_n= $\text{[math]}$ ，其前n项之和为 $\text{[math]}$ ，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（　　）

A．-10

B．-9

C．10

D．9

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a，b，c成等比数列．
（1）求椭圆的离心率e的值．
（2）若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F₁AB=90°．

难度：中等

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5．已知a、b、c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线x²+y²-2x-2y=0截得的弦长的最小值为（　　）

A．

B．1

C．2

D．2

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
的值．

难度：中等

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7．已知圆C过定点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
（1）求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设|AM|=m，|AN|=n，求

的最大值及此时圆C的方程．△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l₁：（sin²A）x+（sinA）y-a=0，l₂：（sin²B）x+（sinC）y-c=0的位置关系是（　　）

A．、重合

B．相交（不垂直）

C．垂直

D．平行

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，点A(an，

an+1

)在抛物线y²=x+4上，则过点P（n，a_n）和Q（n+2，a_n+2）（n∈N^*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（　　）

A．（2，

）

B．（-1，-1）

C．（-

，-1）

D．（-

，-2）

难度：中等

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9．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且过点P（n，a_n）和Q（n+2，a_n+2）（n∈N^*）的直线的斜率是3，若S₁=1，则S₈= ．

难度：中等

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10．（理）已知向量
a
=(x2+1，-x)，
b
=(1，2
n2+1
) （n为正整数），函数f(x)=
a
•
b
，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，对任意正整数n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求
lim
n→∞
Sn；
（3）在点列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在两点A_i，A_j（i，j为正整数）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．

难度：中等

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