知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（sin $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ ，sin $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（cos $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ ，cos $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ），且向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 共线．
（1）求证：sin（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）=0；
（2）若记函数f（x）=sin（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80x%7D%7B2%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ），求函数f（x）的对称轴方程；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值；
（4）如果已知角0＜A＜B＜π，且A+B+C=π，满足f（ $%20%5Cfrac%20%7B4A%7D%7B%5Cpi%20%7D$ ）=f（ $%20%5Cfrac%20%7B4B%7D%7B%5Cpi%20%7D$ ）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7BsinB%7D%7BsinC%7D$ 的值．

难度：中等

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2．已知函数f（x）= $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dsinxcosx-cos%5E%7B2%7Dx-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（1，sinA）与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（2，sinB）共线，求a，b的值．

难度：中等

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3．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ ，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D%3D%CE%BB_%7B1%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D%3D%CE%BB_%7B2%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ ，则λ₁+λ₂等于（　　）

A． $-%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B25%7D$

B． $-%20%5Cfrac%20%7B50%7D%7B9%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B50%7D%7B9%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B25%7D$

难度：中等

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4．已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BBA%7D$ ，则（　　）

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上

D．点P不在直线AB上

难度：中等

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5．设 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 都是非零向量，那么命题“ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 共线”是命题“| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |=| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ |+| $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件

难度：中等

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6．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（λ+1，1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（4，-2），若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%E2%88%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ，则λ= ______ ．

难度：中等

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7．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（1，-3）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（2，1），若（k $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ）∥（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ -2 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ），则实数k的取值为（　　）

A．- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

C．-2

D．2

难度：中等

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8．已知不共线向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ =t $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ - $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ （t∈R）， $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +3 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，若A，B，C三点共线，则实数t=（　　）

A．- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$

B．- $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

D．- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

难度：中等

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9．已知非零向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 、 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +2 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ =-5 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +6 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BCD%7D$ =7 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ -2 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，则一定共线的三点是（　　）

A．A、B、D

B．A、B、C

C．B、C、D

D．A、C、D

难度：中等

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10．设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a²＞ $%20%5Cfrac%20%7B3k%5E%7B2%7D%7D%7B3%2Bk%5E%7B2%7D%7D$ ；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BCB%7D$ ，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

难度：中等

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