知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在四面体O-ABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，D为BC的中点，则
AD
= （用
a
，
b
，
c
表示）．

难度：中等

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2．一辆消防车从A地去B地执行任务．先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地．然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
（1）在如图所示的坐标系中画出
AD
，
DC
，
CB
，
AB
；
（2）求B地相对于A地的位置向量．

难度：中等

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3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=
1
2
+log₂
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若S_n=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N^*，且n≥2，求S_n．

难度：中等

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4．如图所示，已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
OD
=
d
，
OF
=
f
，试用
a
，
b
，
c
，
d
，
f
表示下列向量．
（1）
AC
；
（2）
AD
；
（3）
AD
-
AB
；
（4）
AB
+
CF
；
（5）
BF
-
BD
．

难度：中等

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5．已知如图所示，已知向量
a
，
b
，求作：
a
+
b
，
a
-
b
．

难度：中等

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6．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5
3
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5km/h．
（1）试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水的速度方向间的夹角表示）．

难度：中等

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7．如图，已知
a
、
b
，用向量加法的三角形法则作出
a
+
b
．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．

难度：中等

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8．若
OD
+
OE
=
OM
，试着判断下列结论是否正确．
（1）
OM
-
OE
=
OD
；
（2）
OM
+
DO
=
OE
；
（3）
OD
+
EO
=
OM
；
（4）
DO
+
EO
=
MO
．

难度：中等

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9．一艘轮船从码头出发驶向河对岸，已知轮船的速度为6km/h，河水的流速为2km/h，轮船的实际航行路线与对岸的岸边垂直．
（1）试用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度；
（2）求轮船航行的实际速度的大小（精确到0.01，参考数据
2
≈1.414）．

难度：中等

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10． 2012年全国中学生机器人大赛选选拔赛中，机器人刚开始在原点位置，为了让机器人完成某项任务，学生给机器人设置了以下指令：先逆时针旋转α角，然后向前进1米，将该指令进行一次称为一次操作，试用向量解决以下问题．
（1）当α=
π
3
时，经过几次操作才能回到原点？
（2）是否存在α，使机器人经过10次操作，能首次回到原点？

难度：中等

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