知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”

难度：中等

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2．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a²+b²=c²，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，S为顶点O所对面的面积，S₁，S₂，S₃分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则S，S₁，S₂，S₃满足的关系式为．

难度：中等

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3．在等差数列{a_n}中，若a₁₀=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N^*）成立，类比上述性质，在等比数列{b_n}中，若b₉=1，则有．

难度：中等

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4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈，S₁₆-S₁₂成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b_n}的前n项积为T_n，则T₄，，，和成等比数列．

难度：中等

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5．已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x₁，x₂是关于x方程x²+bx+c=0的根，则x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c．
（Ⅰ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程（x-1）（x²-3x-4）=0的根，求x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程x³+bx²+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃与系数的关系，并加以证明．

难度：中等

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6．平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则
1
a2
+
1
b2
=
1
h2
拓展到空间：设三棱锥A-BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有．

难度：中等

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7．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C（r）=6
3
r，面积S（r）=3
3
r²，发现S′（r）=C（r）．相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S（r）=24
3
r²．请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V（r）= （写出关于r的表达式）．

难度：中等

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8．二维空间中，正方形的一维测度（周长）l=4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S=a²；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S=6a²（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V=a³；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V=4a³，则其四维测度W= ．

难度：中等

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9．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S=
1
2
（a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁，S₂，S₃，S₄，则四面体的体积V= ．

难度：中等

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10．（2012春•汕头校级期中）在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，设h为斜边上的高，则
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
，类比此性质，如图，在四面体P-ABC 中，若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为a，b，c，设棱锥底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为．

难度：中等

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