知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线与射线y=
3
x（x≥0）交于点Q，其中α∈（-
π
2
，
π
2
）．
（Ⅰ）若sinα=
1
3
，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．

难度：中等

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2．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且∠AOP=
π
6
，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是(
3
5
，
4
5
)，求cos(α-
π
6
)的值；
（Ⅱ）设函数f(α)=
OP
•
OQ
，求f（α）的值域．

难度：中等

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3．如图，以Ox为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（
3
5
，
4
5
）．
（1）求sin2α的值；
（2）若β-α=
π
2
，求cos（α+β）的值．

难度：中等

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4．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（-2，0），平行四边形OAQP的面积为S．
（1）求
OA
•
OQ
+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ-
π
6
）的值．

难度：中等

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5．
（本小题满分12分）如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度。

难度：中等

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6．函数f（x）=
3
sinωx•cosωx+sin²ωx+k，（ω＞0）．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
，求ω的取值范围；
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-
π
6
，
π
6
]时，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）最小值，并说明如何由y=sin2x的图象变换得到y=f（x）的图象．

难度：中等

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7．
选修4－1：几何证明选讲
如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，
求证：BE•BF=BC•BD．

难度：中等

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8．已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．
（1）若|
OA
+
.
OC
|=
7
（O为坐标原点），求
.
OB
与
.
OC
的夹角；
（2）若
.
AC
⊥
.
BC
，求点C的坐标．

难度：中等

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9．
选修4－1：几何证明选讲

如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，AH=2。

（1）求DE的长；

（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，

切点为C，若ＰＣ＝２，求ＰＤ的长。

难度：中等

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10．已知，用单位圆求证下面的不等式：
（1）sinx＜x＜tanx；
（2）．

难度：中等

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