知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数y=cos²x+
3
2
sin2x，x∈[0，
π
2
]的最小值为．

难度：中等

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2．已知f(x)=
1-x
，若cosα=
3
5
，则f（cos2α）= ；当x∈(
π
4
，
π
2
)时，f（sin2x）-f（-sin2x）= ．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f(α)=
3
2
，求sin(2α+
π
6
)的值．

难度：中等

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4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
sinC
cosC
=
sinA+sinB
cosA+cosB

（1）求角C的大小
（2）若△ABC的外接圆直径为2，求a²+b²的取值范围．

难度：中等

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5．函数sinhx=
ex-e-x
2
称为“双曲正弦函数”，类似地，函数coshx=
ex+e-x
2
称为“双曲余弦函数”．
（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）
①sinh²x+cosh²x=1；
②sinh2x=2sinhx•coshy；
③cosh2x=cosh²x-sinh²x．
（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．

难度：中等

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6．求值：
（1）0.027-
1
3
-（-
1
7
）-2+256
3
4
-3^-1+（
2
-1）⁰
（2）已知cos（
π
4
+x）=
3
5
，
17π
12
＜x＜
7π
4
，求
sin2x+2sin2x
1-tanx
的值．

难度：中等

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7． f（x）=
x
2
-
1
4
sinx-
3
4
cosx，其中f′（x）为f（x）的导函数，且f′（B）=
3
4
，B∈（0，
π
2
）．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求sin（B+10°）[1-
3
tan（B-10°）]的值．

难度：中等

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8．计算：
（1）
2sin100°-cos70°
cos20°
；
（2）已知sin（2α-β）=
3
5
，sinβ=-
12
13
，且α∈（
π
2
，π），β∈（-
π
2
，0），求sinα的值．

难度：中等

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9．已知-
π
2
＜x＜0，sinx+cosx=
1
5
，则
3sin2
x
2
-2sin
x
2
cos
x
2
+cos2
x
2
tanx+cotx
的值为．

难度：中等

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10．设函数f（x）=2
3
cos2x+2sinxcosx-
3
，求：
（1）函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f(
α
2
-
π
6
)-f(
α
2
+
π
12
)=2
2
，且α∈(
π
2
，π)，求α的值．

难度：中等

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