知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在锐角△ABC中，已知sin（A+B）=
3
5
，sin（A-B）=
1
5
．
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）求tan（A+B）及tanB．

难度：中等

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2．求证：2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1=0．

难度：中等

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3．求证：sin[nπ+（-1）ⁿ•
π
6
]=cos[2nπ+（-1）ⁿ•
π
3
]（n∈Z）

难度：中等

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4．证明下列等式：
（1）
1+sin2φ
sinφ+cosφ
=sinφ+cosφ
（2）sinθ（1+cos2θ）=sin2θcosθ
（3）
1-tan2
α
2
1+tan2
α
2
=coaα
（4）4sinθcos²
θ
2
=2sinθ+sin2θ：
（5）
2sinα-sin2α
2sinα+sin2α
=tan²
α
2

（6）cosα（cosα-cosβ）+sinα（sinα-sinβ）=2sin²
α-β
2
．

难度：中等

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5．（1）求证：2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴
α
2
；
（2）若π＜α＜
3π
2
，证明
1+sinα
1+cosα
-
1-cosα
+
1-sinα
1+cosα
+
1-cosα
=-
2
cos
α
2
．

难度：中等

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6．证明：
（1）
1-2sin2xcos2x
cos22x-sin22x
=
1-tan2x
1+tan2x
；
（2）（2-cos²α）（2+tan²α）=（1+2tan²α）（2-sin²α）．

难度：中等

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7．求证：（
1
sin4α
-1）（
1
cos4α
-1）≥9．

难度：中等

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8．已知sin（2α+β）=2sinβ，求证：tan（α+β）=3tanα

难度：中等

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9．求证：
sin2α
1+cotα
+
cos2α
1+tanα
=1-sinαcosα．

难度：中等

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10．求证：
（1）
sinα-cosα+1
sinα+cosα-1
=
1+sinα
cosα
；
（2）2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1=0．

难度：中等

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