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          共50条信息

            • 1．

              “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗\(.2018\)年春节前夕，\(A\)市某质检部门随机抽取了\(100\)包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．


              \((1)\)求所抽取的\(100\)包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数\(\overline{x}(\)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表\()\)；

              \((2)①\)由直方圆可以认为，速冻水饺的该项质量指标值\(Z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\)，利用该正态分布，求\(Z\)落在\((14.55,38.45)\)内的概率；

              \(②\)将频率视为概率，若某人从某超市购买了\(4\)包这种品牌的速冻水饺，记这\(4\)包速冻水饺中这种质量指标值位于\((10,30)\)内的包数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望．

              附：

              \(①\)计算得所抽查的这\(100\)包速冻水饺的质量指标的标准差为\(\sigma =\sqrt{142.75}\approx 11.95\)；

              \(②\)若\(Z～N(μ,σ^{2})\)，则\(P(μ-σ < Z\leqslant μ+σ)=0.6826\)，\(P(μ-2σ < Z\leqslant μ+2σ)=0.9544\)．

              难度：中等
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            • 2．

              在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了\(100\)名考生的成绩\((\)单位：分\()\)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：

              组别

              \([40,50)\)

              \([50,60)\)

              \([60,70)\)

              \([70,80)\)

              \([80,90)\)

              \([90,100]\)

              频数

              \(5\)

              \(18\)

              \(28\)

              \(26\)

              \(17\)

              \(6\)

              \((1)\)求抽取的样本平均数\(x\)和样本方差\(s^{2}(\)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表\()\)；

              \((2)\)已知这次考试共有\(2000\)名考生参加，如果近似地认为这次成绩\(z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})(\)其中\(μ\)近似为样本平均数\(\overset{¯}{x} \)，\(σ^{2}\)近似为样本方差\(s^{2})\)，且规定\(82.7\)分是复试线，那么在这\(2000\)名考生中，能进入复试的有多少人？\((\)附：\(\sqrt{161} ≈12.7\)，若\(z～N(μ,σ^{2})\)，则\(P(μ-σ < z < μ+σ)=0.6826\)，\(P(μ-2σ < z < μ+2σ)=0.9544.)\)．

              \((3)\)已知样本中成绩在\([90,100]\)中的\(6\)名考生中，有\(4\)名男生，\(2\)名女生，现从中选\(3\)人进行回访，记选出的男生人数为\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列与期望\(E(ξ)\)．

              难度：中等
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            • 3．
              \(PM2.5\)是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的\(PM2.5\)值的数据中随机抽取\(40\)天的数据，其频率分布直方图如图所示\(.\)现将\(PM2.5\)的值划分为如下等级
              \(PM2.5\) \([0,100)\) \([100,150)\) \([150,200)\) \([200,250]\)
              等级 一级 二级  三级  四级
              用频率估计概率．
              \((1)\)估计该市在下一年的\(360\)天中空气质量为一级天气的天数；
              \((2)\)在样本中，按照分层抽样的方法抽取\(8\)天的\(PM2.5\)值的数据，再从这\(8\)个数据中随机抽取\(5\)个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；
              \((3)\)如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天\(PM2.5\)值\(X\)近似满足\(X～N(115,75^{2})\)，则治理后的\(PM2.5\)值的均值比治理前大约下降了多少？
              难度：中等
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            • 4．

              从某企业生产的某种产品中抽取\(500\)件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

              \((I)\)求这\(500\)件产品质量指标值的样本平均值\( \bar{x} \)和样本方差\(s^{2}(\)同一组的数据用该组区间的中点值作代表\()\)；

              \((II)\)由直方图可以认为，这种产品的质量指标\(Z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\)，其中\(μ\)近似为样本平均数\( \bar{x} \)，\(σ^{2}\)近似为样本方差\(s^{2}\)．

              \((i)\)利用该正态分布，求\(P(187.8 < Z < 212.2)\)；

              \((ii)\)某用户从该企业购买了\(100\)件这种产品，记\(X\)表示这\(100\)件产品中质量指标值位于区间\((187.8,212.2)\)的产品件数\(.\)利用\((i)\)的结果，求\(EX\)．

              附：\( \sqrt{150}≈12.2 \)

              若\(Z～N(μ,σ^{2})\)则\(P(μ-σ < Z < μ+σ)=0.6826\)，\(P(μ-2σ < Z < μ+2σ)=0.9544\)．

              难度：中等
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            • 5．

              为评估设备\(M\)生产某种零件的性能，从设备\(M\)生产零件的流水线上随机抽取\(100\)件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

              直径\(/\) \(mm\)

              \(58\)

              \(59\)

              \(61\)

              \(62\)

              \(63\)

              \(64\)

              \(65\)

              \(66\)

              \(67\)

              \(68\)

              \(69\)

              \(70\)

              \(71\)

              \(73\)

              合计

              件数

              \(1\)

              \(1\)

              \(3\)

              \(5\)

              \(6\)

              \(33\)

              \(18\)

              \(4\)

              \(4\)

              \(2\)

              \(1\)

              \(2\)

              \(1\)

              \(100\)

              经计算，样本的平均值\(\mu =65\)，标准差\(\sigma =2.2\)，以频率值作为概率的估计值．

              \((1)\)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为\(X\)，并根据以下不等式进行评判\((P\)表示相应事件的概率\()\)；\(①P(\mu -\sigma < X\leqslant \mu +\sigma )\geqslant 0.6826\)；\(②P(\mu -2\sigma < X\leqslant \mu +2\sigma )\geqslant 0.9544\)；\(③P(\mu -3\sigma < X\leqslant \mu +3\sigma )\geqslant 0.9974\)．

              评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备\(M\)的性能等级．

              \((2)\)将直径小于等于\(\mu -2\sigma \)或直径大于\(\mu +2\sigma \)的零件认为是次品．

              \((ⅰ)\)从设备\(M\)的生产流水线上随意抽取\(2\)件零件，计算其中次品个数\(Y\)的数学期望\(E(Y)\)；

              \((ⅱ)\)从样本中随意抽取\(2\)件零件，写出其中次品个数\(Z\)的分布列\(.(\)概率列出式子即可，可以不计算出具体结果\()\)

              难度：中等
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            • 6． 为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
              直径/mm5859616263646566676869707173合计
              件数11356193318442121100
              经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．
              （Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．
              （Ⅱ）将直径小于等于μ-2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？
              难度：中等
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            • 7． 某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：
              x258911
              y1210887
              （Ⅰ）求y关于x的回归方程
              ∧
              y
              =
              ∧
              b
              x+
              ∧
              a
              ；
              （Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．
              （Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数
              .
              x
              ，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）
              附：①回归方程
              ∧
              y
              =
              ∧
              b
              x+
              ∧
              a
              中，
              ∧
              b
              =
              n
              i=1
              xiyi-n
              .
              x
              .
              y
              n
              i=1
              xi2-n
              .
              x
              2
              ，
              ∧
              a
              =
              .
              y
              -b
              .
              x
              ．
              ②
              		10
              ≈3.2，
              		3.2
              ≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ-δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．
              难度：中等
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            • 8． 未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．
              （Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；
              （Ⅱ） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
              参考数据：P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．
              难度：中等
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            • 9． 某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．
              （1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；
              （2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；
              （3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
              参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
              难度：中等
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            • 10． 为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学的50名男生进行了身高测量（单位：cm），结果如下：
              175 168 170 176 167 181 162 173 171 177 179 172 165 
              157 172 173 166 177 169 181 160 163 166 177 175 174
              173 174 171 171 158 170 165 175 165 174 169 163 166  
              166 174 172 166 172 175 161 173 167
              （1）列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图；
              （2）计算样本平均数和标准差；
              （3）由样本数据估计总体中有多少数据落在区间（
              .
              x
              -s，
              x
              +s）内．
              难度：中等
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