知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线
x2
3
-y²=1的离心率互为倒数，且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

难度：中等

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2．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的左右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2
5
，点P为椭圆短轴的端点，且△PF₁F₂的面积为2
5
}．
（1）求椭圆的方程；
（2）点Q是椭圆上任意一点，A（4
5
，6），求|QA|-|QF₁|的最小值；
（3）点B(1，
4
2
3
)是椭圆上的一定点，B₁，B₂是椭圆上的两动点，且直线BB₁，BB₂关于直线x=1对称，试证明直线B₁B₂的斜率为定值．

难度：中等

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3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0）；
（2）a+c=10，a-c=4．

难度：中等

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4．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
5
5
，其中一个顶点坐标为（0，2），则椭圆的方程为．

难度：中等

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5． 3＜m＜9是方程
x2
m-3
+
y2
9-m
=1表示的椭圆的条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）

难度：中等

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6．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，
（1）求这个椭圆的离心率；
（2）求这个椭圆的标准方程．

难度：中等

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7．已知点P（
a
2
，
2
a
2
）在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过点A（-c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．

难度：中等

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8．已知椭圆E的方程：
x2
100
+
y2
25
=1，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（-2，0），直线MP交圆P与另一点N．
（Ⅰ）求圆P的标准方程；
（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得
AM
•
AN
取得最小值的点A的坐标；
（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．

难度：中等

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9．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
1
2
，且经过点M（1，
3
2
）．求椭圆C的方程．

难度：中等

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10．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M（4，1），N（2，2）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=
16
3
5
，求直线l的方程．

难度：中等

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