知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知F₁，F₂分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，B是椭圆的上顶点，BF₂的延长线交椭圆于点A，过点A垂直于x轴的直线交椭圆于点C．
（1）若点C坐标为(
4
3
，
1
3
)，且|BF₂|=
2
，求椭圆的方程；
（2）若F₁C⊥AB，求椭圆的离心率．

难度：中等

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2．（2016春•荆州校级月考）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为2
3
．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线y=
1
2
x+m与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

难度：中等

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3．已知F₁和F₂是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，
2
2
）在该椭圆上，且PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点A（2，0）作直线l交椭圆于不同的两点B，C，证明：不存在直线l，使得|BF₂|=|CF₂|．

难度：中等

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4．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦点，直线y=
3
x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x-4y-12=0 的抛物线的标准方程．

难度：中等

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5．分别求适合下列条件的标准方程：
（1）实轴长为12，离心率为
2
3
，焦点在x轴上的椭圆；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±
1
3
x的双曲线的标准方程．

难度：中等

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6．如图，抛物线C₁：y₂=2px（p＞0）与椭圆C₂：
y2
a2
+
x2
4
=1（a＞2）交于第一象限内一点M，F为抛物线C₁的焦点，F₁，F₂分别为椭圆C₂的上下焦点，已知|
MF
-|
OF
|=1，|
MF
-
OF
|=
10
．
（1）求抛物线C₁和椭圆C₂的方程；
（2）是否存在经过M的直线l，与抛物线和椭圆分别交于非M的两点P，Q，使得
F1P
+
F2Q
=2
OM
？若存在请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．（2012春•武汉校级期末）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F₁上，片门位于另一个焦点F₂上，由椭圆一个焦点F₁发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F₂．已知BC⊥F₁F₂，|F₁B|=3m，|F₁F₂|=4cm，试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

难度：中等

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的点到左焦点的最大距离是
3
+
2
，且点M（1，e）在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率，A，B是椭圆C上的两点，且|AB|=
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△AOB面积的取值范围．

难度：中等

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9．已知圆C₁：x²+y²=r²与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）于x轴的交点重合，且椭圆C₂的离心率为
2
2
，圆C₁上的点到直线l：x=-2
2
的最短距离为2
2
-2．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）如图过直线1上的动点T作圆C₁的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C₂交于不同的两点C、D，求△OCD面积的最大值．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，且F₂（1，0），O为坐标原点，点M（
2
3
，
2
6
3
）为椭圆C上的点．
（1）求C的方程：
（2）平面上的点N满足
MN
=
MF1
+
MF2
，直线1平行于MN且与椭圆C交于A、B两点，若
OA
•
OB
=0，求直线l的方程．

难度：中等

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