知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•丰台区二模）已知椭圆w：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（0，
2
），椭圆w上任意一点到两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆w的方程；
（Ⅱ）如图，设直线l：y=kx（k≠0）与椭圆w交于P，A两点，过点P（x₀，y₀）作PC⊥x轴，垂足为点C，直线AC交椭圆w于另一点B．
①用直线l的斜率k表示直线AC的斜率；
②写出∠APB的大小，并证明你的结论．

难度：中等

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2．（2016•蚌埠三模）已知F₁，F₂分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F₂的直线在y轴右侧交椭圆于C，D两点．△F₁CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为-
1
4
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设四边形ABCD的面积为S，求S的取值范围．

难度：中等

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3．已知圆M：x2+y2-2
3
x=0的圆心是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），OA、OB斜率之积为-
1
4
，求
x
2
1
+
x
2
2
的值．

难度：中等

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4．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于
3
2
，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
5
，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若
AP
=3
PB
，求m²的取值范围．

难度：中等

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5．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y²=4x的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则C的离心率为．

难度：中等

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6．已知椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x²-5x+2=0的根，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值．

难度：中等

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7．已知命题p：方程
x2
m-2
+
y2
4-m
=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程
x2
3-m
+
y2
m
=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．（Ⅰ）求右焦点坐标是（2，0），且经过点(-2，-
2
)的椭圆的标准方程
（Ⅱ）求与椭圆
x2
25
+
y2
5
=1共焦点且过点(3
2
，2
2
)的双曲线的标准方程．

难度：中等

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9．求椭圆
x2
64
+
y2
36
=1的长轴长、短轴长、顶点坐标、离心率．

难度：中等

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10．已知圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率是
2
2
，且与圆O恰有两个公共点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图过点M（-2，0）作直线l与圆相切于点N，设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，求三角形△NF₁F₂的面积．

难度：中等

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