知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程是（）

A．x²﹣ $\text{[math]}$ =1

B． $\text{[math]}$ =1

C． $\text{[math]}$ =1

D．y²﹣ $\text{[math]}$ =1

难度：中等

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2．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 且过点（4，- $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ）
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F₁MF₂的面积．

难度：中等

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3．已知△ABC三顶点均在双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ =1上，三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为-1；又AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，O为坐标原点，直线OM、ON、OP的斜率分别为k₁，k₂，k₃且均不为0，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B1%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B3%7D%7D$ = ______ ．

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4．已知命题P：方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x²+（y﹣1）²=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C，一条渐近线方程为x-2y=0，且双曲线经过点A（2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的两个焦点分别为F₁，F₂，过点P（0，t）作双曲线C切线，切点为M，若△F₁MF₂的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B2%7D$ ，求实数t的值．

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6．以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
①设A、B为两个定点，k为非零常数，
PA
-
PB
=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)则动点P的轨迹为椭圆；
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点．
④在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．

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7．已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=
3
5
sinA，则顶点A的轨迹方程是．

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8． P是双曲线
x2
36
-
y2
64
=1的右支上一点，M．N分别是圆（x+10）²+y²=4和（x-10）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为．

难度：中等

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9．如果点M（x，y）在运动过程是总满足关系式
x2+(y-5)2
-
x2+(y+5)2
=8，则点M的轨迹方程为．

难度：中等

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10．已知动点M到A（2，0）的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是．

难度：中等

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