知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．过椭圆C： $\text{[math]}$ =1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（　　）

A．（0， $\text{[math]}$ ]

B．（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

C．[ $\text{[math]}$ ， 1）

D．（ $\text{[math]}$ ， 1）

难度：中等

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2．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点M（0，
1
2
）的距离与到直线y=-
1
2
的距离相等．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x轴上的两点（x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0），过点A₁，A₂分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点A₁′，A₂′，直线A₁′A₂′与x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁，x₂确定了x₃．同样，可由x₂，x₃确定了x₄．现已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．

难度：中等

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3．已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

难度：中等

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4．若一动点P到两定点A(0，
3
)、B(0，-
3
)的距离之和为4．
（ I）求动点P的轨迹方程；
（ II）设动点P的轨迹为曲线C，在曲线C任取一点Q，过点Q作x轴的垂线段QD，D为垂足，当Q在曲线C上运动时，求线段QD的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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5．在平面直角坐标系中，点P到两点（-
3
，0），（
3
，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的轨迹方程；
（2）已知x轴上的一定点A（1，0），Q为轨迹C上的动点，求AQ中点M的轨迹方程．

难度：中等

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6．已知F₁，F₂是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，点P（a，b），若△F₁PF₂为等腰三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF₂上的动点，满足
AM
•
BM
=-2，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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7．已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足
MN
•
MP
=6|
NP
|．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积S△MNQ=
3
2
？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．已知圆A：（x+4）²+y²=1及圆B：（x-4）²+y²=9，动圆P与两圆中的一个内切，与另一个外切．求动圆圆心P的轨迹方程．

难度：中等

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9．设A，B分别是直线y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的两个动点，并且|
AB
|=
20
，动点P满足
OP
=
OA
+
OB
．记动点P的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）M，N是曲线C上的任意两点，且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y₀），求y₀的取值范围．

难度：中等

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10．已知过点A（-1，1）的直线与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1交于点B、C，当直线l绕点A（-1，1）旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．

难度：中等

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