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          共50条信息

            • 1．
              在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)是\(C_{1}C\)的中点，则直线\(BE\)与平面\(B_{1}BD\)所成的角的正弦值为\((\)　　\()\)
              A．\(- \dfrac { \sqrt {10}}{5}\)
              B．\( \dfrac { \sqrt {10}}{5}\)
              C．\(- \dfrac { \sqrt {15}}{5}\)
              D．\( \dfrac { \sqrt {15}}{5}\)
              难度：中等
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            • 2．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，\(AD⊥AB\)，\(AB/\!/DC\)，\(AD=DC=AP=2\)，\(AB=1\)，点\(E\)为棱\(PC\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(BE⊥DC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求直线\(BE\)与平面\(PBD\)所成角的正弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(F\)为棱\(PC\)上一点，满足\(BF⊥AC\)，求二面角\(F-AB-P\)的余弦值．
              难度：中等
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            • 3．
              已知正四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=2\)，\(CC_{1}=2 \sqrt {2}\)，\(E\)为\(CC_{1}\)的中点，则直线\(AC_{1}\)与平面\(BED\)的距离为\((\)　　\()\)
              A．\(2\)
              B．\( \sqrt {3}\)
              C．\( \sqrt {2}\)
              D．\(1\)
              难度：中等
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            • 4．
              已知三棱锥\(S-ABC\)中，底面\(ABC\)为边长等于\(2\)的等边三角形，\(SA\)垂直于底面\(ABC\)，\(SA=3\)，
              \((1)\)如图建立空间直角坐标系，写出\( \overrightarrow{SB}\)、\( \overrightarrow{SC}\)的坐标；
              \((2)\)求直线\(AB\)与平面\(SBC\)所成角的正弦值．
              难度：中等
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            • 5．
              如图，已知三棱锥\(O-ABC\)的侧棱\(OA\)，\(OB\)，\(OC\)两两垂直，且\(OA=1\)，\(OB=OC=2\)，\(E\)是\(OC\)的中点．
              \((1)\)求异面直线\(BE\)与\(AC\)所成角的余弦值；
              \((2)\)求直线\(BE\)和平面\(ABC\)的所成角的正弦值．
              难度：中等
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            • 6．

              如图所示，在三棱锥\(A-BCD\)中，\(AB⊥\)平面\(BCD\)，\(AC=AD=2\)，\(BC=BD=1\)，点\(E\)是线段\(AD\)的中点．

              \((1)\)如果\(CD=\sqrt{2}\)，求证：平面\(BCE⊥\)平面\(ABD\)．

              \((2)\)如果\(\angle CBD=\dfrac{2\pi }{3}\)，求直线\(CE\)和平面\(BCD\)所成的角的余弦值．

              难度：中等
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            • 7．

              如图\(1\)，在梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(\angle ABC={{90}^{\circ }}\)，\(AB=2CD=2BC=4\)，\(O\)是边\(AB\)的中点\(.\) 将三角形\(AOD\)绕边\(OD\)所在直线旋转到\({{A}_{1}}OD\)位置，使得\(\angle {{A}_{1}}OB={{120}^{\circ }}\)，如图\(2.\) 设\(m\)为平面\({{A}_{1}}DC\)与平面\({{A}_{1}}OB\)的交线．



              \((\)Ⅰ\()\)判断直线\(DC\)与直线\(m\)的位置关系并证明；

              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(m\)上的点\(G\)满足\(OG\bot {{A}_{1}}D\)，求出\({{A}_{1}}G\)的长；

              \((\)Ⅲ\()\)求直线\({{A}_{1}}O\)与平面\({{A}_{1}}BD\)所成角的正弦值．\(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

              难度：中等
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            • 8．

              如图，边长为\(2\)的正方形\(ABCD\)中，\(E\)点在\(AB\)上，\(F\)在\(BC\)上，且\(BE=BF\)，将\(\Delta AED\)，\(\Delta DCF\)分别沿\(DE\)，\(DF\)折起，使\(A\)，\(C\)两点重合于点\({{A}^{{{'}}}}\)．

              \((1)\)求证：\({{A}^{{{'}}}}D\bot EF ;\)

              \((2)\)当\(BE=BF=\dfrac{1}{4}BC\) 时，求三棱锥\({{A}^{{{'}}}}-EFD\)的体积；

              \((3)\)在\((2)\)的条件下，求\({{A}^{{{'}}}}D\)与平面\(DEF\)所成角的正弦值．

              难度：中等
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            • 9． 正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(B_{1}C\)的中点，则\(EF\)与平面\(ABCD\)所成的角的正切值为 ______ ．
              难度：中等
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            • 10．
              如图，在边长为\(2\)的菱形\(ABCD\)中，\(∠BAD=60^{\circ}\)，现将\(\triangle ABD\)沿\(BD\)翻折至\(\triangle A′BD\)，使二面角\(A′-BD-C\)的大小为\(60^{\circ}\)，求\(CD\)和平面\(A′BD\)所成角的余弦值是 ______ ．
              难度：中等
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