知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•武汉校级月考）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．
（1）求三棱锥S-FAC的体积；
（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA₁=2，点P是棱BB₁上一点，满足
BP
=λ
BB1
（0≤λ≤1）．
（1）若λ=
1
3
，求直线PC与平面A₁BC所成角的正弦值；
（2）若二面角P-A₁C-B的正弦值为
2
3
，求λ的值．

难度：中等

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3．（2016春•淮安校级月考）如图，在四棱锥P-ABCD中．底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，AP∥CQ，AB=2BC=2，CQ=
3
2
AP=3．
（1）求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PQ-B的余弦值．

难度：中等

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4．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥面PAB
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDC
（Ⅲ）求直线EC与平面PAC所成角的余弦值．

难度：中等

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5．（2015秋•晋城期末）如图，四边形ABCD为正方形，四边形AEFD为梯形，FD∥EA，FD⊥平面ABCD，FD=2EA=2AD．
（Ⅰ）证明：平面EFC⊥平面DCE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，BC=
2
，M是AD的中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：NA₁∥CM；
（2）求证：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；
（3）求直线A₁B和平面A₁MCN所成角．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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8．（2015秋•重庆校级期中）如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：中等

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9．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD与面BED所成角的正弦值．

难度：中等

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10．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=5，AC=AA₁=4，BC=3，点D在AB上．
（1）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面B₁CD．
（2）当
BD
AB
=
9
16
时，求直线AC₁与平面CC₁D所成角的正弦值．

难度：中等

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