知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱A₁D₁，A₁B₁，D₁C₁，B₁C₁的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．

难度：中等

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2．在如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）若M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、D₁C₁的中点，求证：平面MNP∥平面A₁BD．
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角的大小．

难度：中等

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3．设平面α与向量
a
={-1， 2， -4 }垂直，平面β与向量
b
={ 2， 3， 1 }垂直，则平面α与β位置关系是．

难度：中等

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4．如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=2，VC=
2
．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V-AB-C的大小；
（3）求点C到平面VAB的距离．

难度：中等

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

难度：中等

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6．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CD上．
（1）求证：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中点，求EB₁与平面AD₁E所成的角；
（3）设M在BB₁上，且
BM
MB1
=
2
3
，是否存在点E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，在CC₁上求一点P，使面A₁B₁P⊥面C₁DE．

难度：中等

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8．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P，Q分别BC，CD上的动点，，确P，Q的位置，使QB₁⊥PD₁．

难度：中等

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9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）求二面角B₁-CD-E的大小；
（3）求点E到平面B₁CD的距离．

难度：中等

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10．已知ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=1，BC=2，E为PC的中点，PA⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点E的坐标；
（2）能否在BC上找到一点F，使EF⊥CD？若能，请求出点F的位置，若不能，请说明理由；
（3）求证：平面PCB⊥平面PCD．

难度：中等

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