知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，正方形ACDE与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，求
（1）求三棱锥C-EFG的体积；
（2）AD与GF所成角的余弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•宜春期末）如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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3．空间直角坐标系中，点A坐标为（1，
3
，2），且△MNP三个顶点分别满足：M是A在平面xOy上的射影点，N与A关于x轴对称，P与A关于平面xOz对称，则△MNP的面积为．

难度：中等

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4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足
CP
=λ
CC1
（λ＞0），当λ=
1
2
时，AB₁⊥BP．
（1）求棱CC₁的长；
（2）若二面角B₁-AB-P的大小为
π
3
，求λ的值．

难度：中等

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5．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P；作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q．现将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连接AQ与A₁P，求四面体AA₁QP的体积；
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．

难度：中等

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6．（2014春•东方校级期中）如图，在45°的二面角α-l-β的棱上有两点A、B，点C、D分别在平面 α、β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BD=AB=1，则CD的长度为．

难度：中等

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7．（2014秋•九江期末）如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB=BC=AA₁，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB₁的中点，则直线EF和BC₁的夹角是．

难度：中等

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8．（2013秋•城厢区校级期中）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P是底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是CD的中点，则P到平面AMD₁的距离为．

难度：中等

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9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2
2
，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H=
5
．
（Ⅰ）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）设N为棱B₁C₁的中点，点M在平面AA₁B₁B内，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求线段BM的长．

难度：中等

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10．如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且CE=1．
（1）求证BE⊥B₁C；
（2）求直线A₁B与直线B₁C所成角的正弦值．

难度：中等

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