知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

难度：中等

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2．（2015秋•重庆校级期中）如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：中等

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3．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：中等

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4．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

难度：中等

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5．在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=
1
3
BC=1，E为SD的中点．
（1）若F为线段BC上一点，且BF=
1
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BC，求证：EF∥平面SAB；
（2）在线段BC上是否存在一点G，使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为
7
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？若存在，求出BG的长度，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=
2
，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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7．已知四边形ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2，直线AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．
（1）求证：平面EBD⊥平面FBD；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值；
（3）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．

难度：中等

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8．在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（1）求证：AC⊥平面FBC；
（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

难度：中等

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9．如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=
3
，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

难度：中等

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10．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C （如图2）．

（1）求证：A₁D丄平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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