知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•陕西模拟）如图：几何体ABCD-B₁C₁D₁中，正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，平面D₁DCC₁与与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为
2
3
，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=
5
，AD∥BC，M为DD₁上任意一点．
（1）当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，求DM的长；
（2）若DM=
5
4
，求直线AD与平面BC₁M所成的角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016春•湖北期中）如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是
3
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）在线段AA₁上是否存在一点E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
2
，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求这个四棱锥的体积．

难度：中等

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4．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=
2
，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．
（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=
3
，SE⊥AD．
（1）写出一个平面，使它与平面SEC垂直；
（2）若SE=1，求三棱锥E-SBC的体积．

难度：中等

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7．如图（1），直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E，F分别在AB，CD上，且EF⊥AB，EC⊥CB，BC=2，EB=4，若将梯形ABCD沿EF折起，使平面AEFD与平面EFCB垂直．

（1）求证：AB∥平面DFC；
（2）若AE=1，则在线段BC上是否存在一点P，使得AP⊥DE？若存在，求
BP
PC
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=α（0＜α＜
2
）
（1）求MN的长度；
（2）当α为何值时，MN的长最小．

难度：中等

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9．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
（1）求证：AP⊥BC；
（2）若点M是线段AP是哪个一点，且AM=3．试证明平面AMC⊥平面BMC．

难度：中等

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10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为
2
2
a，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存在D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁？若存在，请确定D的位置．

难度：中等

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