知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2
2
，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且CO⊥ABB₁A₁平面．
（1）证明：BC⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016•陕西模拟）如图：几何体ABCD-B₁C₁D₁中，正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，平面D₁DCC₁与与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为
2
3
，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=
5
，AD∥BC，M为DD₁上任意一点．
（1）当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，求DM的长；
（2）若DM=
5
4
，求直线AD与平面BC₁M所成的角的正弦值．

难度：中等

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3．（2016春•湖北期中）如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是
3
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）在线段AA₁上是否存在一点E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
2
，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求这个四棱锥的体积．

难度：中等

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5．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=
2
，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．
（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=
3
，SE⊥AD．
（1）写出一个平面，使它与平面SEC垂直；
（2）若SE=1，求三棱锥E-SBC的体积．

难度：中等

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8．如图，平面ABDE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，AE=2BD=4，P、M分别为CE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PD∥平面ABC；
（Ⅱ）是否在EM上存在一点N，使得PN⊥平面ABDE．若存在，请指出点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．如图，直三棱柱ABC一A₁B₁C₁中，AB=
2
，AC=3，BC=
5
，D是AC_l的中点，E是侧棱BB₁上的一个动点
（1）当E是BB₁的中点时，证明：DE∥平面A₁B₁C₁
（2）在棱BB₁上是否存在点E使平面AC₁E⊥平面AC₁C？若存在，求出
BE
BB1
的值，若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
π
2
，AB=BC=
1
2
AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁-BCDE．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，四棱锥A₁-BCDE的体积为36
2
，求a的值．

难度：中等

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