知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b∈R，且ab≠2，若矩阵M=
1 a
b 2
所对应的变换T把直线l：x-y=3变换为自身．
（1）求实数a，b的取值；
（2）若向量
β
=
-1
-2
，求M¹⁰
β
．

难度：中等

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2．设矩阵M=
a 0
0 b
（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：
x2
4
+y²=1，求a，b的值．

难度：中等

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3．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
3 3
2 4
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
1
8
在矩阵B的作用下变换为β，求M⁵⁰β（运算结果用指数式表示）．

难度：中等

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4．若
3
-1
2 0
sinx
cosx
=
2
3
，则实数x的取值集合为．

难度：中等

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5．已知矩阵A=
1 2
-1 4

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
-1
2
，求A⁵β

难度：中等

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6．选修4-2矩阵与变换
（Ⅰ）已知矩阵A=
-1 a
b 3
所对应的线性变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知
e1
=
1
1
是矩阵B=
c 1
0 d
属于特征值λ₁=2的一个特征向量，求矩阵B及其另一个特征值及其对应的一个特征向量．

难度：中等

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7．选修4-2：矩阵与变换
已知α=
.
2
1
.
为矩阵A=
.
1 a
-1 4
.
属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A²．

难度：中等

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8．已知矩阵M=
2 1
4 2
，向量
β
=
.
1
7
.
．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M⁵⁰
β
．

难度：中等

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