知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线l：
x=m+tcosα
y=tsinα
（t为参数）经过椭圆C：
x=2cosφ
y=
3
sinφ
（φ为参数）的左焦点F．
（1）求m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

难度：中等

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2．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos²θ=2sinθ，过点P（0，1）的直线l的参数方程为
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t为参数），直线l与轨迹C交于M，N两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求|MN|．

难度：中等

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3．已知曲线C₁的参数方程为：
x=-1+cost
y=3+sint
（t为参数），C₂：
x=6cosθ
y=2sinθ
（θ为参数）
（1）求C₁，C₂的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数t=
π
2
，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃
x=3
3
+
3
t
y=-3-t
（t为参数）距离的最小值．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为(
3
+2cosα，1+2sinα)（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为2ρcos(θ+
π
6
)=m．（m为实数）．
（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）
（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m的取值范围．

难度：中等

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5．已知直线l的参数方程
x=t
y=2t-1
(t为参数)和圆C的极坐标方程ρ=2
2
cos(θ+
π
4
)，则直线l与圆C相交所得的弦长为．

难度：中等

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6．已知矩阵M=
1 b
c 2
有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量
e1
=
2
3
．求矩阵M及另一个特征值λ₂和特征向量
e2
．

难度：中等

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7．已知直线l的参数方程为
x=1-2t
y=t
，曲线C的参数方程为
x=cosθ
y=
3
sinθ
（θ为参数）．
（1）将直线l与曲线C的参数方程化为一般方程；
（2）若已知P（x，y）是曲线C上的一点，求x+y的最大值．

难度：中等

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8．经过点A（-3，-
3
2
），倾斜角为α的直线l，与曲线C：
x=5cosθ
y=5sinθ
（θ为参数）相交于B，C两点．
（1）写出直线l的参数方程，并求当α=
π
6
时弦BC的长；
（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；
（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；
（4）当α变化时，求弦BC的中点的轨迹方程．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是
x=1-
2
2
t
y=2+
2
2
t
（t为参数）．
（1）若圆C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-15=0，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若矩阵M=
2 1
1 a
的一个特征值是3，求直线l在M对应的变换作用下的直线方程．

难度：中等

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10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为
x=1+cosα
y=1+sinα
（其中α为参数）．在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-
π
4
）=
2
2
．则曲线C₁与C₂交点间的距离为．

难度：中等

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