知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）设a，b，c均为正数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
中至少有一个不小于2；
（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0（其中f′（x）是f（x）导函数）．已知g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）n∈N^*．
（1）求g₁（x），g₂（x）；
（2）猜想g_n（x）表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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2．如果用反证法证明“数列{a_n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：
①数列{a_n}的各项均大于2；          ②数列{a_n}的各项均大于或等于2；
③数列{a_n}中存在一项a_k，a_k≥2；   ④数列{a_n}中存在一项a_k，a_k＞2．
其中正确的序号为    ．（填写出所有假设正确的序号）

难度：中等

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3．（1）已知：a是整数，2能整除a²，求证：2能整除a；
（2）已知a＞0，b＞0，求证：
a+b
2
≥
ab
．

难度：中等

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4．（1）△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三内角A，B，C的对边．用分析法证明
1
a+b
+
1
b+c
=
3
a+b+c
．
（2）已知a是整数，a²是偶数，用反证法证明a也是偶数．

难度：中等

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5．用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b²-2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为．

难度：中等

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6．（1）已知a＞b＞0，求证：
a
-
b
＜
a-b
；
（2）已知函数f（x）=e^x+
x-2
x+1
，用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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7．用反证法证明：若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，那么a，b，c，d中至少有一个小于0，下列假设正确的是（　　）

A．假设a，b，c，d都大于0

B．假设a，b，c，d都是非负数

C．假设a，b，c，d中至多有一个小于0

D．假设a，b，c，d中至多有两个大于0

难度：中等

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8．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°．

难度：中等

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9．已知2b=a+c且a≠c．求证：b²≠ac．

难度：中等

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10．已知：a_n=
1•2
+
2•3
+…+
n•(n+1)
，求证：
n(n+1)
2
＜a_n＜
(n+1)2
2
．

难度：中等

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