知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，a_n+1=-2a_n²+2a_n，n∈N*．
（1）用数学归纳法证明：a_n∈（0， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）；
（2）令b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ -a_n，证明： $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bi%7D%7D$ ≥3ⁿ⁺¹-3．

难度：中等

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2．
三个数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$，满足$a_{1}=- \dfrac {11}{10}$，$b_{1}=1$，$a_{n+1}= \dfrac {|a_{n}-1|+ \sqrt { a_{ n }^{ 2 }-2a_{n}+5}}{2}$，$b_{n+1}=2b_{n}+1$，$c_{n}=a\;_{b_{n}}$，$n∈N*$．
$($Ⅰ$)$证明：当$n\geqslant 2$时，$a_{n} > 1$；
$($Ⅱ$)$是否存在集合$[a,b]$，使得$c_{n}∈[a,b]$对任意$n∈N*$成立，若存在，求出$b-a$的最小值；若不存在，请说明理由；
$($Ⅲ$)$求证：$ \dfrac {2^{2}}{c_{2}}+ \dfrac {2^{3}}{c_{3}}+…+ \dfrac {2^{n}}{c_{n}}\leqslant 2^{n+1}+c_{n+1}-6(n∈N*,n\geqslant 2)$．

难度：中等

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3．
数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}+5a_{n+1}=36n+18$，$n∈N^{*}$，且$a_{1}=4$．
$(1)$写出$\{a_{n}\}$的前$3$项，并猜想其通项公式；
$(2)$用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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4．
已知每一项都是正数的数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n+1}= \dfrac {a_{n+1}}{12a_{n}}(n∈N^{*}).$
$(1)$用数学归纳法证明：$a_{2n+1} < a_{2n-1}$；
$(2)$证明：$ \dfrac {1}{6}\leqslant a_{n}\leqslant 1$；
$(3)$记$S_{n}$为数列$\{|a_{n+1}-a_{n}|\}$的前$n$项和，证明：$S_{n} < 6(n∈N^{*}).$

难度：中等

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5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2ⁿ•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（　　）

A．2k+1

B．2（2k+1）

C． $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$

难度：中等

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6．
已知函数$f_{0}(x)=x(\sin x+\cos x)$，设$f_{n}(x)$是$f_{n-1}(x)$的导数，$n∈N^{*}$．
$(1)$求$f_{1}(x)$，$f_{2}(x)$的表达式；
$(2)$写出$f_{n}(x)$的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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7．
已知集合$S=\{k|1\leqslant k\leqslant \dfrac {3^{n}-1}{2},k∈N^{*}\}(n\geqslant 2$，且$n∈N^{*}).$若存在非空集合$S_{1}$，$S_{2}$，$…$，$S_{n}$，使得$S=S_{1}∪S_{2}∪…∪S_{n}$，且$S_{i}∩S_{j}=\varnothing (1\leqslant i,j\leqslant n,i\neq j)$，并$∀x$，$y∈S_{i}(i=1,2,…,n)$，$x > y$，都有$x-y∉S_{i}$，则称集合$S$具有性质$P$，$S_{i}(i=1,2,…,n)$称为集合$S$的$P$子集．
$($Ⅰ$)$当$n=2$时，试说明集合$S$具有性质$P$，并写出相应的$P$子集$S_{1}$，$S_{2}$；
$($Ⅱ$)$若集合$S$具有性质$P$，集合$T$是集合$S$的一个$P$子集，设$T′=\{s+3^{n}|s∈T\}$，求证：$∀x$，$y∈T∪T′$，$x > y$，都有$x-y∉T∪T′$；
$($Ⅲ$)$求证：对任意正整数$n\geqslant 2$，集合$S$具有性质$P$．

难度：中等

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8．

已知数列$\{a_{n}\}$是递增等差数列，$a_{1}=2$，其前$n$项为$S_{n}(n∈N^{*})$，且$a_{1}$，$a_{4}$，$S_{5}+2$成等比数列．

$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项$a_{n}$及前$n$项和$S_{n}$；

$(2)$若数列$\{b_{n}\}$满足$bn={{2}^{\frac{{{a}_{n}}}{2}-1}}$，计算$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$，并用数学归纳法证明：当$n\geqslant 5$时，$n∈N^{*}$，$T_{n} > S_{n}$．

难度：中等

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9．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n²+n（n∈N^*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）

A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

难度：中等

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10．定义
.
abc
是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
.
abc
的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
.
a1b1c1
，对于n＞1且n∈N，
.
anbncn
=f(
.
an-1bn-1cn-1
)，将
.
anbncn
的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d_n
（Ⅰ）当
.
abc
=636时，求
.
a1b1c1
，
.
a2b2c2
及d₂的值；
（Ⅱ）若d₁=6，求证：当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）求证：对任意三位数
.
abc
，n≥6时，
.
anbncn
=495．

难度：中等

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